Замечание: аналогическая цепочка строится для обучения решению неравенств с дополнительным использованием при этом сравнения с уравнениями.
Вопрос о равносильности уравнений
| Равносильность сохраняется 1. Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение равносильное данному. (Обобщение первого свойства уравнений, 6 класс.) 1. f(x) = g(x) Û 2. f(x)- g(x)=0 2. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному. f(x) = g(x) Û (f(x))2b-1 = =(g(x))2b-1 3. af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x) (a > 0, a¹1) Появляется теоретически в 10-11 классах после изучения показательной функции, перед решением показательных уравнений. | Равносильность может быть нарушена 1. Если обе части уравнения умножить на h(x), то f(x) = g(x)? h(x)f(x) = h(x)g(x) Û 2. Если обе части уравнения возвести в четную степень. f(x) = g(x)? (f(x))2b = (g(x))2b Û |
Специальные приемы решения задач по теме
| Тип задачи | Алгоритм выполнения приема |
| Поиск решения уравнения (неравенства, системы, совокупности) | 1. Определить по виду уравнения (неравенства, системы, совокупности) и прикидкой, каким методом можно воспользоваться. 2. Вспомнить известный (специальный или общий) прием использования этого метода и соотнести его с данным уравнением (неравенством, системой, совокупностью). 3. Определить возможные затруднения при использовании одного метода решения. 4. определить возможность и необходимость комбинации различных методов решения. 5. Разделить предполагаемый ход решения на части, соответствующие применению каждого метода, составить план решения каждой из них. 6. Составить общий план решения в целом. |
| Решение уравнения (неравенства, системы, совокупности) алгебраическим методом | 1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство, система, совокупность) простейшими какого-либо вида (если «да», то выполнить п. 5, если «нет» - п. 2). 2. Определить, если необходимо, ОДЗ уравнения (неравенства, системы, совокупности). 3. Установить, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные и равносильные (общие или специальные для данного вида уравнений или неравенства) преобразований, чтобы привести данное уравнение (неравенство, систему, совокупность) к простейшим данного вида. 4. Выполнить выбранные преобразования, используя соответствующие приемы. 5. Решить известным способом (по формулу, алгоритму), полученные уравнение (неравенство, систему, совокупность). 6. Если необходимо сделать проверку и исследование. 7. Записать ответ, используя принятые приемы записи (в виде равенств, промежутков, их объединений или пересечений). |
| Специализация общего приема на основе конкретизации третьего этапа решения уравнений и неравенств алгебраическим методом | На примере показательных уравнений и неравенств.
1. Определите, является ли это уравнение (неравенство) простейшим вида  ( или  ): если «да», то п. 4, если «нет», - п. 2.
2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования (общие для всех уравнений или неравенств или специальные, основанные на свойствах степени или показательной функции), чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшему.
3. С помощью выбранного преобразования привести уравнение (неравенство) к простейшему виду.
4. Заменить уравнение (неравенство) равносильным алгебраическим уравнением  (неравенством: при  -  или  ; при  -  или ).
5. Решить полученное уравнение (неравенство), используя соответствующий прием.
6. Если нужно, сделать проверку и исследование.
7. Записать ответ.
Замечание: Аналогичны приемы решения целых, дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств.
|
| Решение уравнения (неравенства) графическим методом | 1. Определить, можно ли преобразовать каким-либо способом уравнение (неравенства) к виду  ().
2. Если п. 1 имеет место выполнить преобразования, выбрав  и  наиболее простого вида.
3. Построить графики функций  и  в одной системе координат.
4. Найти абсциссы точек пересечения графиков, каждая из них – корень данного уравнения.
5. Найти промежутки на оси абсцисс, для которых график функции  расположен выше графика функции , каждый из них есть решение данного неравенства.
6. Записать ответ.
|
1. Определить, можно ли каким-либо способом преобразовать неравенство к виду  или  .
2. Если п. 1 имеет место, выполнить преобразование, выбрав наиболее простого вида.
3. Найдите корни функции  в области ее непрерывности и точки разрыва, если они существуют.
4. Отметить полученные значения на числовой оси.
5. Определить знак функции  на каждом из полученных интервалов числовой оси (вычислением значения функции в удобной точке интервала или на основании теоремы о свойстве непрерывной функции).
6. Выбрать интервалы, на которых функция принимает нужное по знаку значение и записать ответ.
|