Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Вариант № 8233382

1. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: 10.

2. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: 2.

3. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10 000 рублей?

Решение.

Розничная цена учебника составляет 120% от оптовой цены. Чтобы найти 100% цены разделим 180 на 1,2:

.

Поскольку

,

по оптовой цене на 10 000 рублей можно купить 66 учебников.

Ответ: 66.

4. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле , где — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и .

Решение.

Подставим в формулу известные значения величин:

 

Ответ: 60.

5. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: -6.

6. Поступивший в продажу в апреле мобильный телефон стоил 2800 рублей. В мае он стал стоить 1820 рублей. На сколько процентов снизилась цена мобильного телефона в период с апреля по май?

Решение.

Посчитаем, на сколько снизилась цена телефона:

 

 

Наконец, посчитаем, сколько процентов составляет данная сумма от первоначальной цены:

 

 

Ответ: 35

7. Решите уравнение .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −4.

8. Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 16:00?

Решение.

Угол между двумя часовыми делениями на циферблате равен 360°/12 = 30°. В четыре часа дня между минутной и часовой стрелкой четыре часовых деления, значит, угол (наименьший) между ними равен 30° · 4 = 120°.

 

Ответ: 120.

9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями:

ВЕЛИЧИНЫ		ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) скорость движения автомобиля Б) скорость движения пешехода В) скорость движения улитки Г) скорость звука в воздушной среде		1) 0,5 м/мин 2) 60 км/час 3) 330 м/сек 4) 4 км/час

 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Решение.

Упорядочим от медленного к быстрому. Ясно, что улитка самая медленная, человек быстрее улитки, автомобиль еще быстрее, а скорость звука — наибольшая из скоростей в списке. Получим соответствие В — 1, Б — 4, А — 2 и Г — 3.

 

Ответ: 2413.

10. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение.

На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна

 

 

Ответ: 0,225.

11. В соревнованиях по метанию молота участники показали следующие результаты:

 

Спортсмен	Результат попытки, м
I	II	III	IV	V	VI
Донников		50,5				49,5
Мелихов		52,5	49,5			51,5
Иванов	50,5			51,5		51,5
Теплицын				50,5	51,5

 

Места распределяются по результатам лучшей попытки каждого спортсмена: чем дальше он метнул молот, тем лучше. Каков результат лучшей попытки (в метрах) спортсмена, занявшего второе место?

Решение.

Из таблицы видно, что лучший результат показал Мелихов(52,5 м.), а второе место занял Теплицын с лучшим результатом 52 метра.

 

Ответ: 52.

12. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

 

Наименование продукта	Тверь	Липецк	Барнаул
Пшеничный хлеб (батон)
Молоко (1 литр)
Картофель (1 кг)
Сыр (1 кг)
Мясо (говядина) (1 кг)
Подсолнечное масло (1 литр)

 

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

Решение.

В Твери стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 11 2 + 9 3 + 1,5 260 + 1 38 = 477 руб.

 

В Липецке стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 12 2 + 13 3 + 1,5 280 + 1 44 = 527 руб.

 

В Барнауле стоимость 2 батонов пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла составит 14 2 + 16 3 + 1,5 300 + 1 50 = 576 руб.

 

Самый дешёвый набор продуктов можно купить в Твери по цене 477 руб.

13. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 5, 2, 4 и 1, 2, 2:

 

.

Ответ: 36.

14. На рисунке точками изображён среднемесячный курс евро в период с октября 2013 по года и по сентябрь 2014 года. По горизонтали указываются месяц и год, по вертикали – курс евро в рублях. Для наглядности точки соединены линиями.

 

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику курса евро.

ИНТЕРВАЛЫВРЕМЕНИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ КУРСА ЕВРО
А) Октябрь — декабрь 2013 г. Б) Январь — март 2014 г. В) Апрель — июнь 2014 г. Г) Июнь — сентябрь 2014 г.		1) Курс евро был выше 46 рублей и на протяжении всего этого периода возрастал 2) Курс евро был ниже 46 рублей 3) После роста курс евро начал падать 4) Курс евро достиг максимума

 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В	Г

Решение.

1) Курс евро был выше 46 рублей и возрастал с января по март и с июня по сентябрь (Б или Г).

2) Курс евро был ниже 46 рублей с октября по декабрь (А).

3) Курс евро достиг максимума к июню и после этого начал падать (В).

4) Курс евро достиг максимума в марте (Б).

 

Искомое соответствие: А—2, Б—4, В—3, Г—1 или А—2, Б—1, В—3, Г—1.

 

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

В оригинале была допущена опечатка: «3) После падения курс евро начал расти». Мы отредактировали условие.

15. В треугольнике проведена медиана на стороне взята точка так, что Площадь треугольника равна 5. Найдите площадь треугольника

Решение.

Из точки можно провести перпендикуляр на прямую Получим, что треугольники и имеют общую высоту, значит, их площади относятся как длины оснований:

 

 

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть площади треугольников и следовательно,

 

Ответ: 30.

16. Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

Решение.

Найдём сторону сечения:

 

 

Найдём площадь сечения:

 

 

Ответ: 180.

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА		РЕШЕНИЯ
А) Б) В) Г)		1)   2)   3)   4)

 

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

Решение.

Решим неравенства:

А)

Б)

В)

Г)

 

Ответ: 1324

18. В визовом центре работает 35 переводчиков, из них 25 человек знают немецкий язык, а 14 человек — испанский. Выберите утверждение, которое следует из приведённых данных. В визовом центре

1) нет переводчика, который не знал бы ни немецкого, ни испанского языка

2) найдутся хотя бы два человека, которые знают одновременно немецкий и испанский языки

3) найдётся переводчик, который не знает ни немецкого, ни испанского языка

4) не найдётся 12 человек, которые знают оба языка.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

1) Неверно. Если все 14 человек, которые знают испанский, знают ещё и немецкий, то тогда 10 человек могут не знать ни одного из этих языков.

2) Верно. Если бы в визовом центре каждый переводчик знал только один язык, в нём работало бы 25 + 14 = 39 переводчиков. Следовательно, минимум четверо из них знают и немецкий, и испанский языки.

3) Неверно. Такой переводчик может найтись — по п. 1) их может быть даже 10 человек, но может и не найтись.

4) Неверно. Такие 12 переводчиков могут найтись, их может быть даже и 14 человек, но могут и не найтись.

 

Ответ: 2.

19. На шести карточках написаны цифры 1; 2; 3; 3; 4; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Решение.

Чтобы сумма делилась на 20 она должна заканчиваться на 0, и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 3, 3, 4 и 1, 2, 7. Рассмотрим каждую из двух комбинаций.

Случай 1: комбинация 3, 3, 4.

Среди оставшихся цифр 1, 2, 7 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру четную, нужно взять одну четную (2) и одну нечетную цифры (1 или 7) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 3 + 23 + 174 = 200 и 3 + 13 + 724 = 740. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат.

Случай 2: комбинация 1, 2, 7.

Среди оставшихся цифр 3, 3, 4 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру четную, нужно взять одну четную (4) и одну нечетную цифры (3) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 1 + 32 + 347 = 380.

 

Ответ: 200, 380, 740.

20. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Решение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

 

Ответ: 7.

 

Вариант № 26448038

1. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

Решение.

Поскольку 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют 50·1609 м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч. Округляя найденную величину, получаем 80.

 

Ответ: 80.

 

Примечание.

Округлять следует сразу до нужного количества знаков, а не поэтапно. Поэтому 80,45 округляется до 80, а не до 81, как можно было бы подумать, сначала округлив до 80,5, а потом до 81.

2. На диаграмме показан средний балл участников из 10 стран в тестировании учащихся 8-го класса по естествознанию в 2007 году (по 1000-балльной шкале). Среди указанных стран первое место принадлежит Японии. Определите, какое место занимает Словения.

 

Решение.

Расположим страны в порядке убывания средних баллов:

 

1) Япония

2) Россия

3) Великобритания

4) США

5, 6) Венгрия, Италия

7, 8) Австралия, Швеция

9) Словения

10) Норвегия

 

Словения находится на девятом месте

 

Ответ: 9.

3.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).

Решение.

Четырехугольник является квадратом. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Сторона квадрата равна , тогда площадь квадрата

 

Ответ: 20.

4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

Решение.

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.

 

Ответ: 0,19.

5. Решите уравнение:

Решение.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

 

Ответ: −10.

6. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение.

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Тогда

 

Ответ: 1,5.

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2 x − 11 или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2 x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

 

Ответ: 5.

8. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.

Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного — диагонали квадрата, длина которой равна длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.

 

Ответ: 2.

9. Найдите , если

Решение.

Из условия находим, что , и подставляем в дробь:

 

Ответ: 2.

10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ом и Ом их общее сопротивление даeтся формулой (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства Ом при известном значении сопротивления приборов Ом:

Ом.

 

Ответ: 10.

11. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение.

Пусть км/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость первого – км/ч. Пусть через часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом,

,

часа или минут.

 

Ответ: 12.

12. Найдите точку минимума функции

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума

 

Ответ: −17.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Имеем:

 

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку Получим точку

 

Ответ: а) б)

14. В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Решение.

а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M — середина BC, тогда DM ⊥ BC, так как треугольник BDC равнобедренный. ∠ AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠ BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. Δ ABC = Δ DBC по трём сторонам, тогда MA = MD и

Аналогично Δ BAD = Δ CAD и NB = NC, а

Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но следовательно, AD = BC.

б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда В треугольнике AMB имеем откуда и

Тогда

 

Ответ:

15. Решите неравенство

Решение.

Пусть тогда неравенство примет вид:

 

 

 

При получим: откуда

При получим: откуда

При получим: откуда

Решение исходного неравенства:

 

Ответ:

16. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Решение.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:

 

 

поэтому ABC = 120°.

Далее,

 

поэтому ADC = 60°.

Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.

Для вписаного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда .

 

Ответ: б) .

17. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

 

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн рублей)		0,6	0,4	0,3	0,2	0,1

 

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Решение.

Пусть повышающий коэффициент

В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу:

 

Месяц	Долг на 1-е число, млн. руб	Выплата, млн. руб	Долг на 15-е число, млн. руб
Январь
Февраль	k		0,6
Март	0,6 k		0,4
Апрель	0,4 k		0,3
Май	0,3 k		0,2
Июнь	0,2 k		0,1
Июль	0,1 k

 

Найдём общую сумму выплат, сложив ежемесячные выплаты:

По условию:

Значит,

 

Откуда наибольшее целое значение

Тем самым, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%.

Ответ: r = 7.

18. Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:

Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если

При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:

При неограниченном увеличении значения функции стремятся к нулю; причём для функция является убывающей, а при — возрастающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.

Тем самым, при должны быть выполнены неравенства откуда при должны быть выполнены неравенства откуда

 

Ответ: