При колебании маятника в вертикальной плоскости груз движется ускоренно по дуге под действием равнодействующей силы F, которая меняется при движении.
Таким образом, мы наблюдаем ускоренное движение, при котором ускорение меняется с течением времени. Для количественного описания такого движения элементарных знаний механики и математики уже недостаточно. Поэтому для упрощения мы поступим следующим образом.
Предположим, что маятник колеблется так, чтобы нить маятника описывала конус и груз двигался по окружности.
Период обращения маятника по конусу и период колебания в одной плоскости будут близки. При этом чем меньше угол отклонения, тем ближе будут значения периодов. Поэтому для вывода формулы периода колебаний математического маятника можно воспользоваться результатом, полученным для конического маятника. Для этого надо взять два одинаковых маятника и заставить один из них колебаться в вертикальной плоскости, а другой вращаться по конусу. Период обращения маятника по конусу будет таким же, что и период колебания в одной плоскости. Период обращения конического маятника равен отношению длины описываемой грузом окружности к значению его скорости: 
Если угол отклонения невелик, то можно считать, что сила F направлена по радиусу окружности ВС. Тогда 
Треугольники ОВС и BDE подобны, поэтому можно записать: ОС: СВ = BD: BE. Так как ОС = h, ВС = R, BD = F тяж, a BE = F, то: 
Приравнивая выражения (2) и (3), получаем выражение для скорости обращения конического маятника: 
Наконец, подставляя выражение (4) в выражение (1), получаем 
При малых отклонениях маятника h ≈ 1. Если длина нити l = 1 м, а отклонение маятника составляет R = 5 см, то по теореме Пифагора можно найти величину h: 
Следовательно, для малых углов можно записать: 
Именно в таком виде записывается формула периода колебаний математического маятника.
Зависимость периода колебаний маятника от ускорения свободного падения позволяет опытным путём определить значение g. По изменению значения g на одной и той же географической широте можно судить о наличии месторождений полезных ископаемых. Подобные измерения позволили открыть Курскую магнитную аномалию.
Исследуя колебания маятника, Галилей установил, что время качаний маятников разной длины пропорционально квадратным корням из их длин. В 1638 г. он сформулировал этот закон в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей…».
Пружинный маятник
Пружинный маятник - колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний. Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах. Что такое пружинный маятник Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. Приняты следующие обозначения: m - масса тела; k - коэффициент жесткости пружины. Общий вид маятника: Особенностями пружинных маятников являются: Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки; У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация; Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости; Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях; От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.
Период и частота свободных колебаний пружинного маятника 