Св-ва числ рядов.
1) Если 
и 
сходящ, тогда 
2) Если сход и расход, тогда 
расход.
Док-во (для суммы, от противного):
Пусть сход. Рассмотрим 
ряды слевая явл-ся сход, ряд справа расх 
противоречие чтд.
3) Если сход, 
сход-ся.
4) сходится 
сход 
Справедливо в обе стороны. Данное св-во обозн что на сход-ть не влияет отбрасывание конечн числа первых членов ряда.
Критерий Коши.
Док-во: 
исп-я опред Коши т-ма доказана.
Необх усл-е сход.
Если сход то 
Док-во: 
чтд
Критерий сходимости полож ряда
Положит ряд сходтися 
когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Док-во: , 
, 
по теор-ме о пред монотон послед-ти 
сущ-ет и конечен когда эта послед-ть ограничена сверху. Сущ-е этого предела озн-ет сходимость ряда по опред чтд.
1ый признак. и положит ряды, 
если 
сход, то сход
если 
расх, то расх
Док-во: по 4му св-ву (на сход не влияет отбрас-е конечно числа членов) 
1) сход 
огр-на сверху, те 
орг-на сверху 
сход
2) Пусть расход, тогда также расходится, тк инчае по 1ой част теор-мы ряд 
должен сходится, что противоречит условию.
Признак Даламбера.
Пусть строго полож, 
1) Если 
ряд сход
2) Если 
ряд расх
3) Если 
признак непременим
Док-во:
1) выберем 
- геом ряд 
ряд сход по 3ему призн сравн-я исх ряд сход.
2) 
выберем 
- геом ряд 
ряд расх по 3ему призн сравн-я исх ряд расх.
3)
расх, 
сход, 
неопред, чтд.
Признак Коши.
Пусть положит ряд и 
1) Если ряд сход
2) Если ряд расх
3) Если неопред
Док-во:
1) выберем
геом ряд, сходится 
по 1му признаку сравнения исх ряд сход
2) выберем
тк 
для 
то 
не выполнено необх усл-е, ряд расх
3)
расх, сход,
неопред, чтд.
Мажорантный признак: 
равномерно сходится на 
если для него на этом отрезке 
сход-ся мажорирующ ряд
|
|
Док-во: 
оценим 
ряд сходится равномерно чтд.
Первая теор-а Абеля
Если ряд 
сход в некоторой тчке 
то он сход в 
. Если ряд расх в тчке 
то он расх 
Док-во: 
сход по усл-ю 
{ 
} сход и огр-на 
Исх ряд абс сходится для по призн сравнения
Исх ряд рясходится для по призн сравнения (противоречие усл-ю теор-ы в случае если бы он сходился). Т-ма доказана.
Вычисл R т-ма 1
Если 
, тогда если
1) 
то 
2) 
то 
3) 
то 
Док-во: рассмотрим исп-я призн Даламбера 
1) 
для 
конечн 
, 
Ряд сход абс на всей прямой
2) 
для 
, 
Ряд сход во всех тчках кроме 
3) 
сход-ть для 
для этих рядов будет сх-ся абс
Вторая теор-а Абеля
Ряд сход равномерно на 
Док-во: 
сход абс и 
имеет место неравенство 
по призн Вейерштрасса сход равномерн на 
чтд.
Непрерывность суммы
Сумму степ ряда 
непр-я ф-я в 
Док-во: 
Расм-м 
. По 2ой теор-ме Абеля и теор-ме о непр-ти функц рядов непр-на на непр-ть в тчке 
чтд
Дифф-ть суммы
явл-ся ф-ей дифф-ой на 
, причем 
и 
имеет 
такой же как и 
исх ряда
Док-во:
Расм-м . По теор-е о дифф-ти функц ряда дифф-ма и
Интегр суммы
явл-ся ф-ей интегр-ой на , причем 
и 
имеет 
такой же как и исх ряда
Док-во: пусть 
, расм-м . По 2ой теор-ме Абеля и теор-ме о интегр-ти функц рядов степ ряд можно интегр-ть почленно.
Равенство 
Т-ма единственности
Если 
на 
разлагается в степ ряд, то это разложение единств
Док-во: 
(и при 
, исп-я т-му о дифф степ ряда, данное равенство можно дифф-ать и полученое рав-во 
справедливо для
исп-я з-е к теор-ме дифф-ти получаем что степ ряд это 
дифф-я ф-я это равенство можно дифф-ать сколь угодно раз, и полученное равенство справедливо для . В общ виде 
все члены степ ряда опред-ся однозначно разложение единств чтд
|
|
З-е: из док-ва теор-мы следует что если ф-я разлагается в степ ряд это будет ряд Тейлора 
Необх и дост-е усл-е разлож ф-ии в степ ряд
на разлаг в степ ряд беск дифф-ма на и ост член в ф-ле Тейлора 
при 
для
Док-во: Необх; тк разлаг в степ ряд, то в силу з-я к теор-е о дифф-ти степ ряда явл-ся дифф-ой на как сумма ряда.
чтд.
Дост-ть; тк явл-ся дифф-ой ф-ей то можно записать ф-лу Тейлора 
причем 
Частичн сумма степ ряда 
Рассм-м 
при , 
т.е ряд сход и его сумма 
чтд