Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

31# Приближенное вычисление определенных интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции или нахождение первообразной сложно.
Пусть требуется вычислить с точностью доɛ>0. Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R;R)включит в себя отрезок [ а; b ], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и ошибку при вычислении значений функций.

32# Функциональный ряд вида

, где коэффициенты a_n, b_n (n=0,1,2,…) определяются по формулам

называется рядом Фурье функции f(x). Отметим, что всегда b₀=0. Члены ряда можно записать в виде гармоник

с амплитудой _, частотой w_n=n и фазой

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов (a,x₁),(x₂,x₃),…, (x_k-1,b) таким образом, чтобы в каждом из них функция была монотонна.

33# Пусть функция z=f(x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy. Разобьем D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих области ∆σ₁, ∆σ₂,…, ∆σ_n и диаметры d₁, d₂,…, d_n (наибольшее расстояние между точками границы области называется диаметром области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_k(ξ_k,η_k) и умножим значение функции в точке P_k на площадь этой области.

Выражение называется интегральной суммой для функции f(x, y) по области D. Если при интегральная сумма имеет конечный предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) в области D и обозначается или

Геометрический смысл двойного интеграла: если f(x, y)>0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела с основанием D, ограниченному сверху поверхностью z=f(x, y).

Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

34# Пусть функция f(x, y, z) определена в ограниченной замкнутой пространственной области T. Разобьем T произвольным образом на n элементарных областей T₁,T₂,…,T_n с диаметрами d₁, d₂,…, d_n и объемами ∆V₁, ∆V₂,…, ∆V_n. В каждой элементарной области возьмем произвольную точку и умножим значение функции в точке P_k на объем этой области: . Выражение называется интегральной суммой для функции f(x, y, z) по области T.

Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области T и обозначается:

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Если f(x, y, z) есть функция распределения плотности вещества в области T, то тройной интеграл численно равен массе всего вещества в этой области (физический смысл тройного интеграла).

- формула для вычисления тройного интеграла в прямоугольных координатах.