1. Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема (n≥50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений СВ на к частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания значений СВ в частичные интервалы.
Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:
h= 
,
где Хmax,Хmin – соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ Х- стаж работы, n-объем выборки. Если h окажется дробным, то за величину интервала нужно взять, либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь.
Для СВ Х- стаж работы n=100, Хmax=90, Хmin=15
h= 
В качестве левого конца первого интервала возьмем величину, равную
а1= Хmin- 
. Если аi – начало i-ого интервала, тогда
а2= а1+ h=10+10=20
а3= а2+ h=20+10=30
а4= а3+ h=30+10=40
а5= а4+ h=40+10=50
а6= а5+ h=50+10=60
а7= а6+ h=60+10=70
а8= а7+ h=70+10=80
а9= а8+ h=80+10=90
Составим таблицу.
 |
Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки.
Таблица 1
| Интервалы (аi; аi+1] | Середины интервалов | Подсчет частот | Частоты ni | Относительные частоты Wi=ni/n | Накопительные относительные частоты |
| (10;20] | 0.05 | 0.05 | |||
| (20;30] | 0.10 | 0.15 | |||
| (30;40] | 0.17 | 0.32 | |||
| (40;50] | 0.20 | 0.52 | |||
| (50;60] | 0.18 | 0.70 | |||
| (60;70] | 0.15 | 0.85 | |||
| (70;80] | 0.12 | 0.97 | |||
| (80;90] | 0.03 | 1.00 |
2. Первый и пятый столбцы таблицы 1 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого – гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рисунке 1).
Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятым столбцами, графическое изображение которого – полигон относительных частот (изображен на рисунке 1 ломаной линией).
3. Эмпирическая функция распределения F*(x) выборки служит для оценки функции распределения F(x) генеральной совокупности. Функция F*(x) определяет для каждого значения x относительную частоту события X<x:
F*(x) = 
где nx –число выборочных значений, меньших х; n- объем выборки. Шестой столбец таблицы 1 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F*(x), они относятся к верхней границе частотного интервала.
Эмпирическая функция распределения F*(x) имеет вид:
F*(x) = 
График эмпирической функции распределения F*(х) изображен на рисунке 2 (для непрерывных распределений значения F*(х) распространяются на интервалы линейным интерполированием).
4. Для вычисления числовых характеристик выборки (
, Дв, Sx, Ax*, Эx*) удобно использовать таблицу 2, где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик.
Выборочное среднее вычисляют по формуле:
,
где m – число интервалов, xi-середины интервалов(шт).
=(15*5+25*10+35*17+45*20+55*18+65*15+75*12+85*3)/100=4940/100=49.4
Выборочное среднее дает усредненное значение количества деталей для данной выборки.
Таблица для расчета числовых характеристик выборки.
Таблица 2
| Середины интервалов xi | Частоты ni |
xi-
| 
| 
| 
| 
|
| -34.4 | -172 | 5916.8 | -203537.9 | 7001704.4 | ||
| -24.4 | -244 | 5953.6 | -145267.8 | 3544535.3 | ||
| -14.4 | -244.8 | 3525.12 | -50761.7 | 730968.9 | ||
| -4.4 | -88 | 387.2 | -1703.7 | 7496.2 | ||
| 5.6 | 100.8 | 564.48 | 3161.1 | 17702.1 | ||
| 15.6 | 3650.4 | 56946.2 | 888361.3 | |||
| 25.6 | 307.2 | 7864.32 | 201326.6 | 5153960.8 | ||
| 35.6 | 106.8 | 3802.08 | 135354.0 | 4818604.1 | ||
| ∑ | ---- | -4483.2 |
Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:
Дв(х)= 
,
Дв(х)=31664/100=316.64
Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
Sx= 
Для случайной величины Х Sx= 
(годов).
Оно показывает разброс выборочных значений хi относительно выборочного среднего =49.4.
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
Ax*= 
,
Эx*= 
;
Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 2, получим:
Ax*= -4483.2/100*(17.8)3 = -4483.2/563975.2= -0.00795
Эx*= 22163333.1/100*(17.8)4= 22163333.1/10038758.56= -0.7922
Ax*≠0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего . Отрицательный знак выборочного коэффициента эксцесса показывает, что полигон менее крут чем нормальная кривая.
5. Мы предварительно предполагаем, что СВ Х – стаж работы, распределена нормально по совокупности следующих признаков.
Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса).
Выборочные коэффициенты асимметрии Ax*= -0.00795 и Эx*= - 0.7922отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более, чем на утроенные средние квадратические ошибки их определения.
|Ax*|=|-0.00795|<0,7161=3*SА,
|Эx*|=|-0.7922|<1,3917=3*Sэ,
где SА= 
Sэ= 
Можно предположить, что стаж работы (СВ Х) изменяется под действием большого числа факторов, примерно равнозначных по количеству.
Итак, по совокупности указанных признаков, можно предположить, что распределение СВ Х- стаж работы является нормальным.
6. Функция плотности нормального распределения имеет вид:
В качестве неизвестных параметров α и σ возьмем их точечные оценки =49.4 и Sx=17.8 соответственно. Тогда дифференциальная f(x) и интегральная F(x) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:
; F(x)= 
7. Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предполагаемому нормальному закону, назовем нулевой (Н0:Х 
N(α,σ)), тогда На:Х 
N (α,σ). Проверим ее с помощью критерия согласия 
Пирсона.
Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические ni(наблюдаемые) и теоретические n*pi(вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина:
набл= 
по таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы v=S-r-1 (S- число интервалов, r-число параметров предполагаемого распределения СВ Х) находится критическое значение (α,v).
Если набл≤ кр, то считается, что данный критерий не дают оснований для отклонения гипотезы при данном уровне значимости α=0,05. в противном случае считается, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть.
Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности рi рассчитываются с помощью функции Лапласа Ф(х):
рi=Р(xi<X≤xi+1)=Ф 
где х=49.4 – выборочное среднее;
Sх=17.8 – выборочное среднее квадратическое отклонение.
p1=P(-∞<x≤20)=Ф 
-Ф(1.65)+Ф(∞)=-0.4505+0,5=0,0495
p2=P(20<x≤30)=Ф 
-Ф(1.1)+Ф(1.65)= -0.36433+0,4505=0,08617
p3=P(30<x≤40)=Ф 
-Ф(0.53)+Ф(1.1)= -0.2019+0.36433=0.16243
p4=P(40<x≤50)=Ф 
Ф(0.03)+Ф(0.5)=0,0120+0,2019=0.2139
p5=P(50<x≤60)=Ф 
Ф(0.59)-Ф(0.03)=0.2224-0.01197=0,21043
p6=P(60<x≤70)=Ф 
0,3770-0,2224=0,1546
P7=P(70<x≤80)=Ф 
0,4573-0,3770=0,0803 P8=P(80<x<∞)=Ф 
0,5-0,4573=0,0427
Вычисления сведем в таблицу 3. количество интервалов S=8.
Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра (математическое ожидание α и среднее квадратическое отклонение σ), поэтому r=2, тогда число степеней свободы v=S-r-1=8-2-1=5
Таблица 3
Расчетная таблица для вычисления набл
| Интервалы (xi;xi+1] | Частоты эмпирические, ni | Вероятности pi | Теоретические частоты, | 
|
| -∞;20] | 0,0495 | 4,95 | 1,2375E-06 | |
| (20;30] | 0,08617 | 8,617 | 0,001648164 | |
| (30;40] | 0,16243 | 16,243 | 0,000930803 | |
| (40;50] | 0,2139 | 21,39 | 0,004132762 | |
| (50;60] | 0,21043 | 21,043 | 0,0194855 | |
| (60;70] | 0,1546 | 15,46 | 0,000327134 | |
| (70;80] | 0,0803 | 8,03 | 0,012656003 | |
| (80;90] | 0,0427 | 4,27 | 0,000688708 | |
| ∑ | 1,0 | 100,00 | набл=0,03987
|
Значение набл=0,03987
В таблице критических точек распределения по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы v=5 найдем критическое значение кр(0,05;)=11,07.
Так как набл > кр, то считаем, что есть основания для отклонения нулевой гипотезы при заданном уровне значимости α=0,05.
Построим график эмпирической функции f(x). Для этого из середины частичных интервалов восстановим перпендикуляры высотой равной pi-вероятностям попадания СВ Х-стаж работы в соответствующий частичный интервал. На рисунке 3 концы перпендикуляров отмечены точками, полученные точки соединены плавной кривой.
Сравнение полигона относительных частот и нормальной кривой показывает, что построенная нормальная кривая удовлетворительно сглаживает полигон.
8. Найдем интервальные оценки параметров нормального закона распределения. Для нахождения доверительного интервала, покрывающего математическое ожидание СВ Х- стаж работы, найдем по таблицам квантилей распределения Стьюдента по заданной доверительной вероятности 1-α=γ=0,95 и числу степеней свободы v=n-1=100-1=99 число tγ=1,984.
Вычислим предельную погрешность интервального оценивания:
εх= tγ* 
=1,984 
Запишем искомый доверительный интервал для математического ожидания α:
- εх<α< + εх,
49.4-3.5<α<49.4+3,5
45.9<α<52.9.
Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n СВ Х-стаж работы, из одной и той же генеральной совокупности, то в 95% выборок доверительный интервал (45.9;52.9)покроет математическое ожидание α, и только в 5% выборок математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.
Для нахождения доверительного интервала, покрывающего неизвестное среднее квадратическое отклонение σ с заданной вероятностью 1-α=γ=0,95, найдем по γ=0,95 и числу степеней свободы v=n-1=100-1=99 два числа γ1=0,878 и γ2=1,161. Искомый доверительный интервал равен:
γ1*Sx<σ< γ2*Sx,
0,878*17.8<σ<1,161*17.8,
15.6<σ<20.7
Если будет произведено достаточно большое число выборок объема n СВ Х- стаж работы, из одной и той же генеральной совокупности, то в 95 % выборок доверительный интервал (0,827;1,094) покроет среднее квадратическое отклонение σ, и только в 5% среднее квадратическое отклонение σ может выйти за границы доверительного интервала (15.6;,20.7).
ВЫВОД
Была проведена исследовательская работа над случайной двумерной величиной Х- кол-во обработанных деталей, шт.; У- время непрерывной работы станков, ч.Были построены интервальный и дискретный статистически ряды распределения частот и относительных частот, гистограммы и полигоны относительных частот, эмпирические функции распределения. Были вычислены числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса. Для Х- кол-во обработанных деталей и для У- время непрерывной работы станков, ч. несимметричный полигон (гистограмма) Правосторонняя асимметрия данного распределения, и полигон менее крут чем нормальная кривая.
Х- кол-во обработанных деталей, шт.; У- время непрерывной работы станков, ч. распределены по нормальному закону, это видно исходя из механизма их образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.
Далее были найдены точечные оценки параметров нормального закона распределения, и записаны функции плотности распределения вероятностей для Х- кол-во обработанных деталей, шт.; и для У- время непрерывной работы станков, ч.
Проверила с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения. Была приняты гипотезы и найдены интервальные оценки параметров нормального закона распределения
И теперь проанализировав значения Х- кол-во обработанных деталей, шт.; У- время непрерывной работы станков, ч. провела корреляционный анализ: составила корреляционную таблицу; нашла выборочный коэффициент корреляции; проверила значимость выборочного коэффициента корреляции rв ;построила корреляционное поле и по характеру расположения точек на нем подобрать общий вид функции регрессии; нашла эмпирические функции регрессии У- время непрерывной работы станков, ч.на Х- кол-во обработанных деталей, шт.;, X на Y и построила их графики.
В результате было выявлено, что математическая статистика основана на теории вероятности, изучающая методы сбора и обработки результатов наблюдений, с целью выявления закономерностей. Я рассматривала методы, позволяющие делать научно обоснованные выводы о числовых значениях параметров распределения генеральной совокупности по случайной выборке, о неизвестной функции распределения и плотности распределения, о корреляционной зависимости одной случайной величины Х от другой У по случайным выборкам, проверять статистические гипотезы на основе выборочных данных.
Заключение.
В результате проведенной работы мной установлено, что случайные величины Х-количество обработанных деталей и У- время непрерывной работы станков, распределены по нормальному закону распределения и между ними существует корреляционная зависимость.
Список используемой литературы.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. - М.:Высш. школа, 1997.-479с.
2. Сборник задач по математике для вузов. – Ч.З. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/Под ред. А.В. Ефимова. – М.:Наука, 1990.-348с.
3. Шушерина О.А. Математическая обработка экспериментальных данных: Методические указания к лабораторной работе. – Красноярск: СТИ, 1982.-36с.