Числовой ряд 
с положительными членами называется числовым знакоположительным рядом.
Рассмотрим числовые ряды
(2)
и
. (3)
Первый признак сравнения. Если при 
для рядов (2) и (3) выполнено условие 
и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2). Если же ряд (3) расходится, то расходится и ряд (3).
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел
,
то ряды (2) и (3) сходятся и расходятся одновременно.
Признак Даламбера. Если для ряда (2) существует предел 
, то при 
ряд (2) сходится, а при 
расходится.
Признак Коши. Если для ряда (2) существует предел 
, то при ряд (2) сходится, а при расходится.
Если пределы в признаках Коши и Даламбера равны единице, то необходимо дополнительное исследование сходимости.
Интегральный признак Коши-Маклорена. Если члены ряда (2) не возрастают (
) и существует неотрицательная невозрастающая функция 
при 
, то ряд (2) сходится или расходится вместе с интегралом 
.
Для того, чтобы исследовать на сходимость ряд 
, где 
– многочлены степени 
и 
соответственно, нужно составить обобщенный гармонический ряд 
. При этом целесообразно применять второй признак сравнения.
Признаки сходимости числовых знакочередующихся рядов
Числовой ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е.
, (4)
в котором 
называется знакочередующимся рядом. В случае, если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (4), т.е. ряд 
, то ряд (4) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (4) сходится, а расходится, то ряд (4) называется сходящимся условно.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (4) сходится, если выполняются условия:
1) 
,
2) 
.
Степенные ряды
Степенным рядом называется выражение вида
, (5)
где 
– постоянные, называемые коэффициентами ряда.
Если 
, то степенной ряд принимает вид
(6)
Радиусом сходимости ряда (6) называется величина 
(число) такая, что при всех 
ряд сходится, а при всех 
расходится. Интервал 
в этом случае называется интервалом сходимости ряда (6). На концах интервала сходимости ряд может как сходится, так и расходится (это нужно исследовать).
Если ряд (6) сходится на всей числовой оси, то 
, если он сходится только для 
, то 
.
Если при 
ряд (5) сходится, а при всех 
расходится, то – радиус сходимости, а интервал 
– интервал сходимости.
Радиус сходимости можно вычислять по одной из формул:
или 
.
Задача 5. Найти интервалы сходимости следующих степенных рядов:
а) 
; б) 
; в) 
и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.
Решение. а) Воспользуемся признаком Даламбера. Так как признак Даламбера применим для рядов с положительными членами, то будем исследовать ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
.
Ряд сходится, если 
, т. е. если 
, 
. Значит, радиус сходимости 
; интервал сходимости: .
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала, т.е. в точках 
.
В точке исходный ряд имеет вид 
. Это числовой, знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница:
1) 
; 2) 
. Они выполняются. Исследуем сходимость соответствующего знакоположительного ряда 
. Подберем обобщенный гармонический ряд 
. Этот ряд расходящийся. По предельному признаку сравнения 
. Значит ряд также расходится. Таким образом, ряд сходится условно.
При 
исходный ряд имеет вид 
. Это числовой, знакоположительный ряд. Как показано выше он расходится.
Таким образом, радиус сходимости ряда ; интервал сходимости: 
.
б). Применим признак Коши: 
, 
. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках 
. При 
исходный ряд имеет вид 
. Это расходящийся ряд, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда, т.е. 
.
При 
исходный ряд имеет вид 
. Это расходящийся ряд, поскольку не выполняется второе условие признака Лейбница, т.е. 
.
Ответ: радиус сходимости: 
; интервал сходимости: .
в) Применим признак Даламбера: 
, тогда 
. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках 
. При 
исходный ряд имеет вид 
. Это ряд, сходящийся условно, поскольку выполняются условия признака Лейбница, но расходится ряд составленный из абсолютных величин ряда .
При 
исходный ряд имеет вид 
. Это расходящийся гармонический ряд.
Ответ: радиус сходимости: 
; интервал сходимости 
.
Замечание. Степенной ряд может как сходиться, так и расходиться на концах интервала сходимости. В этих граничных точках требуется дополнительное исследование. При исследовании степенных рядов на концах интервала сходимости можно придти к рядам вида:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
, е) 
.
Решение. а) Это числовой знакоположительный ряд. Общий член ряда 
. Вычислим предел 
. Так как необходимый признак сходимости ряда не выполняется, то ряд расходится.
б) Это числовой знакоположительный ряд. Применим признак Даламбера. Так как 
, 
, то 
. По признаку Даламбера ряд сходится.
в) Это числовой знакоположительный ряд. Применим признак Коши. Имеем: 
, 
. Следовательно, 
, поэтому ряд сходится.
г) Это числовой знакоположительный ряд. Применим интегральный признак Коши. Члены данного ряда положительны и убывают, поэтому в качестве функции , о которой идет речь в интегральном признаке, возьмем функцию 
, 
, т.к. 
. Т.к. 
= 
, т.е. интеграл сходится, а поэтому и данный ряд сходится.
д) Это числовой знакоположительный ряд. Применим предельный признак сравнения. Т.к. степень числителя равна 2, а степень знаменателя равна 4, то составим обобщенный гармонический ряд 
.
Поскольку 
, то подобранный ряд сходится. Сравним его с исходным рядом
.
Значит, исходный ряд также сходится.
е) Это числовой знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница 1) 
; 2) 
. Они выполняются. Исследуем сходимость соответствующего знакоположительного ряда 
. Подберем обобщенный гармонический ряд . Этот ряд расходящийся. По предельному признаку сравнения 
. Значит ряд также расходится. Таким образом, ряд сходится условно.
Задача 6. Разложить в ряды Фурье следующие функции:
а) 
на интервале 
;
б) 
на интервале .
Решение. а) Определим коэффициенты Фурье:
;
;
, так как функция четная.
Итак, 
.
Если продолжить эту функцию на всю числовую ось, исходя из свойства периодичности, то получим непрерывную функцию, для которой это равенство выполняется для всех 
.
Ответ: 
, 
.
б) Определим коэффициенты Фурье:
;
.
Таким образом, 
.
Заметим, что если продолжить эту функцию на всю числовую ось, исходя из свойства периодичности, то получим разрывную функцию. В точках разрыва 
, 
сумма ряда равна среднему арифметическому пределов полученной функции слева и справа, т.е. числу 
.
Ответ: 
.