Вычисление угла между прямыми, заданными каноническими уравнениями.

Нужно указать, что: а^- = а_х * i + a_y * j + a_z * k Это разложение любого вектора по ортам координатных осей. Чсла а_х, а_у, а_z называются координатами вектора а^-, т. е. координаты вектора – его проекции на ось. Данное равенство также записывается: а^- =(а_х; a_y; a_z).

17. Формула вычисления модуля вектора через его координаты. Направляющие косинусы.

Зная проекции вектора, можно найти его модуль (длину): I a^- I= квадратный корень из а²_х + а²_у + а²_z

а^- =(а_х; a_y; a_z) или а^- = а_х * i + a_y * j + a_z * k

То нужно записать:

1. а^- + в^- =(а_х + в_х)* i +(a_y + в_у)* j +(a_z + в_z)* k

а^- =(а_х; a_y; a_z) в^- =(в_х; в_y; в_z) а^- = в^- если а_х = в_х, a_y = в_y, a_z = в_z

а^- (палки вверх) в^- если а^- = h * в^-

а_х * i + a_y * j + a_z * k = h* в_х * i +h* в_y * j +h* в_z * k Свяжу с условием одноименные координаты:

из а_х = h * в_х, а_у = h * в_у, а_z = h * в_z следует h = а_х / в_х, h = а_y / в_y, h = а_z / в_z

а^- * в^- =I a^- I*I в^- I* cos < фи где фи – угол между векторами

Можно преобразовать: из I a^- I* cos < фи =пр. _в-а^- и I в^- I* cos < фи =пр. _а-в^- следует

2. Сочетательное, относительно скалярного множителя

Если h принадлежит R, то (h * а^-)* в^- = h *(а^- * в^-)

3. Распределительное а^- *(в^-+с^-)= а^-*в^-+ а^-*с^-

i * j =0 i * k =0 j * k =0 i * j = i * k = j * k =0

21. Выражение скалярного произведения векторов через координаты. Угол между векторами. Условие ортогональности.

Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть заданы а^- и в^- через разложение по ортам координат осей

Найду скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойствам 1,2,3 скалярного произведения). При умножении будем пользоваться таблицей скалярного произведения i, j, k (по свойствам 4 и 5) :

а^- * в^- = (а_х * i + a_y * j + a_z * k)*(в_х * i + в_y * j + в_z * k)= а_х * в_х + a_y * в_y + a_z * в_z

а^- * в^- =I a^- I*I в^- I* cos < фи

cos<фи=(а^- * в^-)/(I a^- I*I в^- I)=(а_х*в_х+a_y*в_y+a_z*в_z)/(квадр. корень из а²_x + a²_y + a²_z)*(квадр. корень из в_х² + в_y² + в_z²)

Условие ортогональности.

Следствие: Если фи =90 (а^- в^-), то а^- * в^- =0, т. е. а_х * в_х + a_y * в_y + a_z * в_z =0 Это условие перпендикулярности, или ортогональности, векторов в трехмерной системе координат.

Ответ на вопрос 21

Скалярное произведение через координаты

Воспользовавшись свойством скалярного произведения, получим

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений одноимённых координат:

Угол между векторами

Условие перпендикулярности

Условием перпендикулярности в координатной форме будет равенство нулю суммы произведений одноимённых координат

ax·bx + ay·by + az·bz = 0

Билет 22

Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который

перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов;

направлен туда, откуда видится поворот первого множителя вектора ко второму против часовой стрелки;

его модуль равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

Свойства:

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.

, где α и β числа,

,

.

Билет 23

Векторное произведение в координатах

Представим перемножаемые векторы в разложении по базисным векторам декартовой системы координат и перемножим их, воспользовавшись свойствами векторного произведения,

Билет 24

Условие комплонарности.Условие паралейности

- компланарны.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Билет 25

Формуле вычисления площади параллелограмма можно придать более простой вид через скалярное произведение:

или окончательно

Билет 26

Смешаное произведение вектора.Геометрический смысл произведение

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb)•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Геометрический смысл выражения (ахb)*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b, с и вектор d =ахb

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • прdс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, прdс = Н Для правой тройки векторов и прdс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb)*c =S *(±H), т. е. (axb)*c =±V, где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Билет 27

Св-ва смешаного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b)•с=(b х с)•а=(с х а)•b.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb)•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb)•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0, то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc¹0. Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b, с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

Билет 28

Выражение смешаного произведения вектора через координаты

Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk, b =bxi +byj +bzk, с=cxi +cyj +czk. Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

28)Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk, b =bxi +byj +bzk, с=cxi +cyj +czk. Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

29) Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде:

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида Ax+By+C=0

(где А, В и С- постоянные коэффициенты, причем А2+В2≠0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0; А≠0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит через начало координат.

2. А=0, В≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0 (или у=b, где), параллельна оси (ох).

3. В=0; А≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0, параллельна оси Оу.

4. В=С=0; А≠0. Прямая определяемая уравнением Ах=0 (или x=0 поскольку А≠0), совпадает с осью Оу.

5. А=С=0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву=0 (или у=0, поскольку В≠0), совпадает с осью Oх.

Если в общем уравнении прямой В≠0, то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида y=kx+в. Его называют уравнением с угловым коэффициентом поскольку где -угол, образованный прямой с положительным направлением оси Oх. Свободный член уравнения в равен ординате точки пересечения прямой с осью Oу.

30) Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями

A1x + В1у + C1 = 0 и А2х + В2 y + С2 = 0.

Согласно формуле:

и, следовательно, косинус угла φ между прямыми l1 и l2 может быть вычислен по формуле:

Записав правую часть формулы через координаты, получим:

Прямые с нормальными векторами n1 и n2: (Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых)

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы n1 и n2 коллинеарны;

б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы n1 и n2 перпендикулярны, т. е. когда n1 • n2 = 0.

Отсюда получаем необходимые и достаточные уcловия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями.

Для того чтобы прямые

A1x + В1у + C1 = 0 и А2х + В2 y + С2 = 0

были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

A1A2 + В1В2 = 0

31) Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M2 (x 2, y 2, z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х2 и х = х 1, если х 1 = х2.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

32) Вычисление угла между прямыми, заданными каноническими уравнениями

Рассмотрим задачу о вычислении угла между прямыми l1 и l2, заданными в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнениями

Поэтому всегда имеет место равенство

cos φ = | cos ψ |.

По формуле получаем

и, следовательно,

или

33)Известно, что через данную точку М 0, проходит прямая пересекающая данную прямую под углом λ.

Выведем уравнение прямой линии проходящая через точку М 0 и составляющая с положительным направлением Ох угол λ

У М М 0 (х0, у0)

М 0 М(х, у)

у А

х │М0 А│=х-х0 │АМ│=у-у0

в х

Возьмем на данной прямой с координатам М(х,у).

Из прямоугольного треугольника tg α==

(х-х0)tg α=y-y0

tg α=k

y=kx+(y0-kx0)

в

y=kx+b -уравнение с угловым коэффициентом.

34)Пусть L1 и L2 заданы с угл. Коэффициентом

L1=y=k1x+b1

L2=y=k2x+b2

Tgφ=

Условие параллельности:1)если L1 ││ L2 то, φ=0

Tgφ=0

K2=k1-условие ││

2)L1 L2 φ=90

Ctgφ=

K1=1/k2-условие

35) Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0, то, разделив на –С, получим уравнение прямой в отрезках где , Прямая пересекает ось

в точке , ось в точке