Приложение определенных интегралов к решению

Физических задач

Работа переменной силы, заданной функцией и направлен-ной вдоль оси на отрезке , равна интегралу

(15)

Для вычисления силы давления жидкости используют «закон Паскаля»: давление жидкости на горизонтальную пластину площади равно весу столба этой жидкости, т.е. , где - ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - глубина ее погружения.

Пример 11. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого , радиус (рис. 13).

Рис. 13

Решение. Введем систему координат так как указано на рис. 13.

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом на высоту , равна . Однако различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия до края резервуара различных слоев не одинакова.

Учитывая, что вес воды равен , где - удельный вес, - плотность воды, найдем сначала объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине и имеющего длину , ширину и толщину :

Найдем элементарную работу, совершаемую для поднятия этого слоя воды на высоту ,:

Следовательно,

. 3

Пример 12. Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом основания , высотой и плотностью
песка .

Решение. Рассмотрим физическую модель. В данном случае работа затрачивается при поднятии песка на некоторую высоту.

Работу можно вычислить по формуле , где – масса песка, – ускорение свободного падения, – высота, на которую поднимают песок.

Однако трудность заключается в том, что разные части песка нужно поднимать на разную высоту.

Разобьем наш конус на тонкие горизонтальные пласты толщиной . Рассмотрим один из таких пластов.

Можно считать, что всю массу песка такого пласта подняли на одну и ту же высоту . При этом и работа по поднятию этого тонкого пласта .

Из рисунка видно, что выделенные треугольники подобны, имеют общий угол, причем

Отсюда . Величина изменяется для разных пластов от до .

Для того, чтобы найти полную работу, нужно просуммировать элементарные работы для всех тонких пластов. При переходе к пределу при , суммирование превращается в интегрирование и окончательно получаем

5. Функции многих переменных

5.1 Определение экстремума функции двух переменных в точке.

Рассмотрим функцию двух переменных, определенную в некоторой области . Функция имеет в точке :

локальный максимум, если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки ;

локальный минимум, если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки .

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

, .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются стационарными точками.

Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума. Пусть - стационарная точка функции . Обозначим

, ,

и составим дискриминант . Тогда:

если и , то - точка максимума;

если и , то - точка минимума;

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дополнительное исследование.

Пример 12. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Решениями системы уравнений будут точки , , , .

Найденные точки являются стационарными точками данной функции.

Найдем вторые частные производные данной функции:

Найдем значения частных производных второго порядка в каждой стационарной точке и составим дискриминант .

Имеем:

а) для точки :

;

Согласно достаточным условиям экстремума в точке экстремума нет;

б) для точки :

;

, т.е. экстремума нет;

в) для точки :

;

, т.е. экстремума нет;

г) для точки :

, т.е. имеем точку локального минимума: . 3

5.2 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

найти стационарные точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной осью , прямой и параболой при .

Решение. Изобразим область на плоскости .

Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области , так и на ее границе.

Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней области, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю: , .

Решив систему полученных уравнений, найдем две точки и , в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке .

Исследуем функцию на границе области.

На отрезке имеем , поэтому на этом отрезке - возрастающая функция одной переменной . Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка .

На отрезке имеем , следовательно, на этом отрезке функция , представляет собой функцию одной переменной , ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную . Находим критические точки: .

Внутри отрезка имеется лишь одна критическая точка . Соответствующей точкой отрезка является точка . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся среди ее значений в точках .

На дуге параболы имеем:

Найдем критические точки .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на дуге находятся среди ее значений в точках .

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках , т.е. среди значений:

; ; ;

; ; .

Наибольшее и наименьшее из них соответственно равны 12 и -1.

Они являются наибольшим и наименьшим значениями данной функции в замкнутой области . 3

5.3 Условный экстремум. Условным экстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные и связаны уравнением (уравнение связи).

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа

где - неопределенный постоянный множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид

Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные , и .

Достаточные условия экстремума функции Лагранжа.

Пусть , - стационарная точка функции , тогда определитель дает условия экстремума:

если , то имеет в точке условный максимум;

если , то имеет в точке условный минимум.

Геометрически задача отыскания условного экстремума сводится к нахождению экстремальных точек кривой, по которой поверхность пересекается с цилиндром .