Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение 1. Пусть X – линейное пространство над K, 
. Будем говорить, что 
является собственным числом линейного оператора A, если существует такой ненулевой вектор 
, что 
.
При этом вектор 
называют собственным вектором оператора A, соответствующим собственному числу l.
Пример 1. Собственным числом тождественного оператора является 1, так как 
для любого вектора .
Любой ненулевой вектор – собственный вектор оператора E, соответствующий собственному числу 
.
Лемма. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному числу l линейного оператора A, также является собственным вектором, отвечающим l.
Доказательство. Пусть 
- собственные векторы оператора A, соответствующие собственному числу 
, т.е. 
для всех 
. Пусть, далее, 
- ненулевая линейная комбинация этих векторов. Покажем, что вектор также является собственным вектором, отвечающим l.
Действительно, 
.
Теорема 1. Критерий собственных чисел.
Пусть X – линейное пространство над K, . Для того чтобы было собственным числом оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического многочлена 
оператора A, т.е. 
,
или кратко: l – собственное число оператора 
Û .
Доказательство. Введём обозначения: 
- базис пространства X, 
X. По определению 1 утверждение “l – собственное число оператора A ” означает, что существует ненулевой вектор такой, что , или 
, где – базис 
. По теореме 2 §3 последнее равенство эквивалентно следующему: 
, или 
, где 
, 
, так как 
. Это означает, что l – собственное число матрицы 
, а по теореме 1 §5главы Y это возможно тогда и только тогда, когда 
, или .
|
|
Определение 2. Совокупность всех собственных чисел линейного оператора A (с учетом их кратностей как корней характеристического многочлена ) будем называть спектром оператора A и обозначать так: 
.
Пример 2. Пусть 
. Найдем спектр тождественного оператора E.
Пусть - базис X. Очевидно, 
, и
.
Следовательно, 
.
Пример 3. Пусть – базис линейного пространства X над K, , и 
. Найдем собственные числа и собственные векторы оператора .
По теореме 1, собственные числа оператора A есть корни характеристического многочлена 
, где . В примере 1 §5главы Y были найдены корни этого многочлена 
. Следовательно, 
, 
– собственные числа линейного оператора , и 
. В этом же примере были найдены собственные векторы 
и 
матрицы , отвечающие собственным числам и соответственно: 
, 
; 
, b и g не равны нулю одновременно. Следовательно, любой собственный вектор оператора A, соответствующий собственному числу имеет вид 
, где ; собственный вектор, соответствующий , имеет вид 
, где b и g не равны нулю одновременно.
Пример 4. Пусть X – линейное пространство над R, , – базис X, и 
. Тогда оператор A не имеет ни собственных чисел, ни собственных векторов, так как его характеристический многочлен 
, не имеет вещественных корней.
Теорема 2. Собственные векторы 
линейного оператора , отвечающие попарно различным собственным числам 
, ¼, 
соответственно (
, если 
), линейно независимы.
Доказательство проведем методом математической индукции по числу векторов 
.
I. База. При 
утверждение очевидно, так как собственный вектор ненулевой, а совокупность из одного ненулевого вектора линейно независима.
|
|
II. Индукционный переход. Докажем, что утверждение теоремы верно для векторов, если оно верно для совокупностей из 
вектора.
Пусть
(1)
Подействуем на обе части этого равенства оператором A:
, или 
.
Учитывая, что по условию для 
, получаем:
. (2)
Вычтем из равенства (2) равенство (1), умноженное на 
:
.
Следовательно, 
, так как совокупность 
линейно независима по индукционному предположению. Отсюда получаем: 
, так как 
для 
. Тогда из равенства (1) следует: 
, откуда 
, так как 
.
Итак, из равенства (1) следует: 
, что и означает линейную независимость векторов .
Задача. Пусть 
– линейно независимая совокупность собственных векторов линейного оператора , соответствующих собственному числу 
, 
, и пусть 
, если 
. Докажите, что совокупность векторов 
линейно независима.
§8. Операторы простой структуры.
Определение 1. Пусть , l – собственное число оператора , т.е. 
. Собственным подпространством линейного оператора , соответствующим собственному числу l, будем называть ядро оператора 
и обозначать его так: 
, т.е.
.
Размерность собственного подпространства будем называть геометрической кратностью собственного числа l и обозначать так: 
.
Замечание 1. По лемме 1 §4 главы YIII 3, собственное подпространство, действительно, является подпространством пространства X как ядро линейного оператора .
Замечание 2. Очевидно, отличается от множества всех собственных векторов оператора A, соответствующих собственному числу l, лишь нулевым вектором, поскольку включение 
эквивалентно равенству 
, или .
Задача. Докажите, что геометрическая кратность любого собственного числа l оператора не превосходит его алгебраической кратности.
|
|
Определение 2. Будем говорить, что оператор имеет простую структуру, если в пространстве существует базис из собственных векторов оператора .