Дифференцируемые функции нескольких переменных.

Частные производные функции нескольких переменных

26. Дифференцируемость функции
нескольких переменных. дифференциал

 

Дифференцируемые функции нескольких переменных.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой открытой области плоскости , – точка области . Придавая переменным приращения и , перейдем из точки в какую-нибудь точку той же области. При этом функция получит приращение

.

В отличие от частных приращений и это приращение называется полным приращениемфункции в точке , соответствующим приращениям и независимых переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде

, (4.1)

где – некоторые числа, – бесконечно малые при , (или, короче при ).

Замечание. Функции и зависят от .

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Соотношение (4.1) можно записать и в более сжатой форме:

(4.2)

где , – бесконечно малая при .

Слагаемое , линейное относительно и , является главной частью приращения, так как оставшееся слагаемое (или , если используется формула (4.2)) есть бесконечно малая более высокого порядка чем и .

ПРИМЕР. Функция будет дифференцируемой в любой точке , так как

Здесь – главная часть полного приращения функции, а слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с и .

Данное выше определение дифференцируемости функции двух переменных является естественным обобщением определения дифференцируемости функции одной переменной. Следовательно, можно поставить вопрос о том, какие из свойств дифференцируемых функций одной переменной сохранятся для функции двух переменных. Так, было установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т.е. из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. На функции двух переменных эти свойства переносится в следующем виде.

ТЕОРЕМА 4.1. (необходимые условия дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным. Причем , а .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО…

1) Пусть дифференцируема в точке . Значит ее приращение в этой точке может быть записано в виде

, (*)

где – некоторые числа, – бесконечно малые при , . Тогда

.

С другой стороны,

.

Следовательно, ,

⇒ ,

т.е. непрерывна в точке .

2) Пусть . Тогда формула (*) примет вид

,

где – некоторое число, – бесконечно малая при , . Отсюда получаем:

и .

Аналогично доказывается, что существует . ∎

С учетом теоремы 4.1 равенства (4.1) и (4.2) можно теперь записать в виде (4.3)

(4.4)

где – бесконечно малые при , , , – бесконечно малая при .

Утверждение обратное теореме 4.1 неверно. Из непрерывности функции двух переменных в точке и существования в этой точке ее частных производных еще не следует дифференцируемость функции.

ПРИМЕР. Функция непрерывна в точке и имеет в этой точке частные производные:

,

.

Однако эта функция не является дифференцируемой в точке . Действительно, в этой точке ее полное приращение равно

.

Если бы функция была дифференцируемой в точке , то слагаемое можно было бы представить в виде , где , а – бесконечно малая при . Но выделяя в множитель , мы получаем второй множитель . А эта функция не является бесконечно малой при (при любых имеем и, значит, в любой сколь угодно малой окрестности точки всегда найдутся точки для которых неравенство не выполняется для ).

Для того, чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной надо наложить боле жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке. А именно, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4.2. (достаточные условия дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки частные производные и , причем в самой точке эти производные непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке.

ПРИМЕР. 1) Функция в любой точке дифференцируема, так как ее частные производные и всюду непрерывны.

2) Функция дифференцируема в каждой точке полуплоскости , так как там существуют и непрерывны ее частные производные .

И в заключение этого пункта заметим, что все определения и теоремы, которые мы здесь формулировали, легко переносятся на случай функций большего числа переменных.

Дифференциал.

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде

,

где – бесконечно малые при , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция дифференцируема в точке . Главная, линейная относительно и часть ее полного приращения в этой точке, т.е.

,

называется полным дифференциалом функции в этой точке и обозначается или .

Из этого определения следует, что разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка чем и :

где – бесконечно малые при , . Это обстоятельство можно использовать в приближенных вычислениях.

Пусть, например, нам известны значения дифференцируемой функции и ее частных производных и в точке . Требуется вычислить значение этой функции в точке . Для этого рассмотрим разность значений функции в точке и . По определению

.

Заменяя полным дифференциалом , получаем:

,

откуда

. (4.5)

Допущенная при этом погрешность будет тем меньше, чем меньше и .

ПРИМЕР. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию . Искомое число представляет собой значение этой функции в точке .

Пусть , . Так как частные производные рассматриваемой функции , в точке непрерывны, то функция дифференцируема в точке и для вычисления ее значения в точке мы можем воспользоваться формулой (4.5).

Имеем: ,

,

.

Из ,

находим, что , .

Подставляя все в (4.5) окончательно получаем:

Данное выше определение полного дифференциала функции двух переменных легко обобщается на случай дифференцируемой функции любого числа переменных: полным дифференциалом функции переменных в данной точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов часть полного приращения функции в этой точке.

Полному дифференциалу функции двух переменных, как в свое время дифференциалу функции одной переменной, можно придать геометрический смысл. Но для этого нам придется ввести понятие касательной плоскости к поверхности. Сделать это можно несколькими, эквивалентными между собой, способами. Предлагаемое ниже определение является естественным обобщением определения касательной (прямой) к линии.

Пусть – точка на поверхности . Возьмем на поверхности другую точку и проведем секущую прямую .

Плоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю когда точка стремится к , двигаясь по поверхности произвольным образом.

Из этого определения следует, что если у поверхности в данной точке есть касательная плоскость, то она единственная. Могут на поверхности быть и такие точки, в которых касательной плоскости к поверхности нет. Например, поверхность, заданная уравнением (коническая поверхность) в точке касательной плоскости не имеет.

Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке .

Позже мы покажем, что у поверхности, заданной уравнением , где – функция, дифференцируемая в точке , касательная плоскость в точке существует и имеет уравнение (4.6)

а нормаль в этой точке будет тогда иметь уравнение

(4.7)

Если поверхность задана уравнением , где – дифференцируемая в точке функция, причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается в этой точке в ноль, то касательная плоскость к поверхности в точке существует и имеет уравнение

.

Уравнения нормали к поверхности в этой точки тогда будут иметь вид

.

Замечание. Точка поверхности , в которой все частные производные функции обращаются в ноль, называется особой точкой поверхности. В особой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.

Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что поверхность, заданная уравнением , имеет в точке касательную плоскость, уравнение которой имеет вид (4.6). Полагая , , уравнение касательной плоскости можно переписать в виде

.

В этом равенстве слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам и , а справа – полный дифференциал функции в точке .

Таким образом, полный дифференциал функции в точке равен приращению, которое получает аппликата точки касательной плоскости, проведенной к графику функции в точке , когда ее координаты и получают приращения и соответственно.

Полный дифференциал функции в точке зависит от 1) координат точки, 2) от величины приращений и . Если рассматривать его во всех точках дифференцируемости функции и для всех возможный и , то получим функцию четырех переменных (в общем случае переменных), которую называют полным дифференциалом функции и обозначают или .

Легко доказать, что полный дифференциал функции нескольких переменных обладает теми же свойствами, что и дифференциал функции одной переменной. В том числе для него существует и вторая, инвариантная форма записи. Получим ее в заключение этого пункта.

Напомним, что если – дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

(4.8)

Полагая, в частности, (т.е. ), получаем

.

Аналогично, полагая , получаем, что .

Поэтому мы можем записать дифференциал функции в виде . (4.9)

Позже мы убедимся, что формула (4.9) остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

27. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

 

По определению дифференциал (первый дифференциал) функции вычисляется по формуле если – независимая переменная.

 

ПРИМЕР.

Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции сам является функцией, то есть для сложной функции .

Пусть дифференцируемы, тогда по определению

 

 

Кроме того, что и требовалось доказать.

 

ПРИМЕРЫ.

Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать, что то есть производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.