Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение





Практическая работа №11

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели: отработать умения и навыки решения тригонометрических уравнений разными методами: разложение на множители; способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям); сведение к уравнениям, однородным относительно и ; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение; преобразование произведения тригонометрических функций в сумму; использование формул понижения степени; равенство одноименных тригонометрических функций; введение вспомогательного аргумента.

Основные методы решения

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:

  • разложение на множители;
  • способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);
  • сведение к уравнениям, однородным относительно и ;
  • преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;
  • преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;
  • использование формул понижения степени;
  • введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Способ замены

Данным методом решаются уравнения вида

.

Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены или . Уравнения

не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:

.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение . Его корни: , то есть получаем уравнение или . Первое уравнение дает . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как ,

;

.

Сделаем замену .

, , .

; .

.

Ответ:

Однородные уравнения

,

,

называются однородными относительно и . Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при и у всех членов уравнения одинакова. Делением на соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно . При этом, конечно, предполагается, что коэффициент . В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на (если бы , то из исходного уравнения следует, что и , а это невозможно, так как и при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда ).

Пример 3. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение является однородным относительно и . Поэтому, разделив его на , получим . Введем новую переменную и решим квадратное уравнение .

.

или .

Ответ: .

Разложение на множители

При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Применяя формулу синуса двойного угла, получим , . Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Решение 1-го уравнения: .

Уравнение преобразуем к виду , имеющему решение .

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:

или ,

или

или .

Ответ: .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. По формулам приведения . Получаем уравнение . Пользуясь, выше приведенной формулой, преобразуем разность синусов в произведение:

.

В результате имеем уравнение , откуда или . Решая эти уравнения, получим ; .

Ответ: .





Читайте также:
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Социальное обеспечение и социальная защита в РФ: Понятие социального обеспечения тесно увязывается с понятием ...
Задачи и функции аптечной организации: Аптеки классифицируют на обслуживающие население; они могут быть...
Что входит в перечень работ по подготовке дома к зиме: При подготовке дома к зиме проводят следующие мероприятия...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2019 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-06-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.015 с.