Практическая работа №11
Тема: « Решение тригонометрических уравнений »
Цели: отработать умения и навыки решения тригонометрических уравнений разными методами: разложение на множители; способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям); сведение к уравнениям, однородным относительно и
; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение; преобразование произведения тригонометрических функций в сумму; использование формул понижения степени; равенство одноименных тригонометрических функций; введение вспомогательного аргумента.
Основные методы решения
Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:
- разложение на множители;
- способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);
- сведение к уравнениям, однородным относительно
и
;
- преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;
- преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;
- использование формул понижения степени;
- введение вспомогательного аргумента.
При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.
Способ замены
Данным методом решаются уравнения вида
.
Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены или
. Уравнения
не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:
.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену
. В результате получим уравнение
. Его корни:
, то есть получаем уравнение
или
. Первое уравнение дает
. Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как ,
;
.
Сделаем замену .
,
,
.
;
.
.
Ответ:
Однородные уравнения
,
,
называются однородными относительно и
. Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при
и
у всех членов уравнения одинакова. Делением на
соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно
. При этом, конечно, предполагается, что коэффициент
. В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на
(если бы
, то из исходного уравнения следует, что и
, а это невозможно, так как
и
при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда
).
Пример 3. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение является однородным относительно и
. Поэтому, разделив его на
, получим
. Введем новую переменную
и решим квадратное уравнение
.
.
или
.
Ответ: .
Разложение на множители
При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Применяя формулу синуса двойного угла, получим ,
. Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:
.
Решение 1-го уравнения: .
Уравнение преобразуем к виду
, имеющему решение
.
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:
или
,
или
или
.
Ответ: .
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. По формулам приведения . Получаем уравнение
. Пользуясь, выше приведенной формулой, преобразуем разность синусов в произведение:
.
В результате имеем уравнение , откуда
или
. Решая эти уравнения, получим
;
.
Ответ: .