Углы: прецессии ¾ 
= (t), нутации ¾ 
= (t), ротации ¾ j = j (t)
-
Переход от осей неподвижной системы координат [X] к осям системы [ x 1] осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [ X ]
[X] ={a2y} т [ x 1 ] (1), где {a2y} т = 
(2).
- Переход от осей системы[ x 1] к осям системы[ x 2] осуществляется поворотом на угол нутации вокруг оси
системы [ x 1 ]
[ x 1 ] = {a3q} т [ x 2 ] (3), где матрица {a3q} т = 
(4).
3. Переход от осей системы [ x 2] к осям системы[ x ] - ¾ поворотом на угол ротации (собственного вращения) 
вокруг оси 
системы [ x 2 ]
[ x 2 ]= {a2j}т [ x ] (5), где поворотная матрица {a2j}т имеет вид матрицы (2) ¾ {a2y} т
{a2j} т = 
(6).
Подставляя в соотношение (1) ¾ [X] ={a2y} т [ x 1 ] соотношение (3) ¾ [ x 1 ] = {a3q}т [ x 2 ] , в котором [ x 2 ] представлено в виде (5) ¾ [ x 2 ] = {a2j }т [x], получаем
[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j}т [ x ]. (7)
Или 
где искомая поворотная матрица 
является произведением трех матриц поворота (2), (4), (6), а именно:
{ ay,q,j } т = = {a2y} т {a3q } т {a2j } т =
= =
(8)
Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:
– вектор угловой скорости прецессии;
– вектор угловой скорости нутации;
– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).
Здесь 
– единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно.
Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью 
, равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:
.
Случай регулярной прецессии – это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис. 4.2) во все время движения остаются постоянными:
· угол нутации 
, 
;
· угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость (
);
;
· 
угловое ускорение 
.
Величина и напраление вектора мгновенной угловой скорости определяются думя способами:
· 1) по ее составляющим 
;
· 2) использовать мгновенную ось вращения 
, которую в дальнейшем будем для краткости обозначать 
. По известной скорости 
какой-либо точки М твердого тела и положению оси 
находят величину : 
, где 
– перпендикуляр, опущенный из точки М на ось .
· 3. Определить угловое ускорение 
твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.
· 4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера 
, величина которой 
.
· 5. Определить ускорения 
произвольных точек твердого тела по формуле 
, где 
- вектор осестремительного ускорения, величина которого 
; 
- вектор вращательного ускорения, величина которого 
.
· Так как 
всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается 
, то его следует находить только по векторной форме.
· Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение 
должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна
· 
.
· Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:
· и 
,
· где 
– нормальное ускорение; 
– касательное ускорение, при регулярной прецессии 
=0.
· Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.