Углы: прецессии ¾ = (t), нутации ¾ = (t), ротации ¾ j = j (t)
- Переход от осей неподвижной системы координат [X] к осям системы [ x 1] осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [ X ]
[X] ={a2y} т [ x 1 ] (1), где {a2y} т = (2).
- Переход от осей системы[ x 1] к осям системы[ x 2] осуществляется поворотом на угол нутации вокруг оси системы [ x 1 ]
[ x 1 ] = {a3q} т [ x 2 ] (3), где матрица {a3q} т = (4).
3. Переход от осей системы [ x 2] к осям системы[ x ] - ¾ поворотом на угол ротации (собственного вращения) вокруг оси системы [ x 2 ]
[ x 2 ]= {a2j}т [ x ] (5), где поворотная матрица {a2j}т имеет вид матрицы (2) ¾ {a2y} т
{a2j} т = (6).
Подставляя в соотношение (1) ¾ [X] ={a2y} т [ x 1 ] соотношение (3) ¾ [ x 1 ] = {a3q}т [ x 2 ] , в котором [ x 2 ] представлено в виде (5) ¾ [ x 2 ] = {a2j }т [x], получаем
[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j}т [ x ]. (7)
Или где искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (2), (4), (6), а именно:
{ ay,q,j } т = = {a2y} т {a3q } т {a2j } т =
= =
(8)
Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:
– вектор угловой скорости прецессии;
– вектор угловой скорости нутации;
– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).
Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно.
Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:
.
Случай регулярной прецессии – это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис. 4.2) во все время движения остаются постоянными:
· угол нутации , ;
· угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость ();
;
· угловое ускорение .
Величина и напраление вектора мгновенной угловой скорости определяются думя способами:
· 1) по ее составляющим ;
· 2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси находят величину : , где – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось .
· 3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.
· 4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .
· 5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где - вектор осестремительного ускорения, величина которого ; - вектор вращательного ускорения, величина которого .
· Так как всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.
· Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна
· .
· Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:
· и ,
· где – нормальное ускорение; – касательное ускорение, при регулярной прецессии =0.
· Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.