Углы Эйлера. Формулы преобразования координат и поворотные матрицы




Углы: прецессии ¾ = (t), нутации ¾ = (t), ротации ¾ j = j (t)

  1. Переход от осей неподвижной системы координат [X] к осям системы [ x 1] осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [ X ]

 

[X] ={a2y} т [ x 1 ] (1), где {a2y} т = (2).

  1. Переход от осей системы[ x 1] к осям системы[ x 2] осуществляется поворотом на угол нутации вокруг оси системы [ x 1 ]

[ x 1 ] = {a3q} т [ x 2 ] (3), где матрица {a3q} т = (4).

3. Переход от осей системы [ x 2] к осям системы[ x ] - ¾ поворотом на угол ротации (собственного вращения) вокруг оси системы [ x 2 ]

[ x 2 ]= {a2j}т [ x ] (5), где поворотная матрица {a2j}т имеет вид матрицы (2) ¾ {a2y} т

{a2j} т = (6).

 

Подставляя в соотношение (1) ¾ [X] ={a2y} т [ x 1 ] соотношение (3) ¾ [ x 1 ] = {a3q}т [ x 2 ] , в котором [ x 2 ] представлено в виде (5) ¾ [ x 2 ] = {a2j }т [x], получаем

 

[X] ={a2y} т {a3q} т {a2j}т [ x ]. (7)

Или где искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (2), (4), (6), а именно:

{ ay,q,j } т = = {a2y} т {a3q } т {a2j } т =

 

= =

 

(8)

 

Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:

вектор угловой скорости прецессии;

вектор угловой скорости нутации;

вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).

Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно.

Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:

.

Случай регулярной прецессии – это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис. 4.2) во все время движения остаются постоянными:

· угол нутации , ;

· угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость ();

;

· угловое ускорение .

Величина и напраление вектора мгновенной угловой скорости определяются думя способами:

· 1) по ее составляющим ;

· 2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси находят величину : , где – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось .

· 3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

· 4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .

· 5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где - вектор осестремительного ускорения, величина которого ; - вектор вращательного ускорения, величина которого .

· Так как всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.

· Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

· .

· Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

· и ,

· где – нормальное ускорение; – касательное ускорение, при регулярной прецессии =0.

· Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: