ЧТО ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ?
Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Это будет первое знакомство с серьезным разделом высшей математики. В основе математического анализа лежит идея движения, изменения процесса. Он предлагает набор некоторых стандартных математических моделей, с помощью которых можно описать различные процессы, разнообразные связи между меняющимися величинами, переменными.
1. Дискретная модель – последовательность.
2. Непрерывная модель – функция, заданная формулой.
3. Модель в форме зависимости – уравнение.
4. Интегральная модель – плотность.
Таким образом, математический анализ создает модели для описания различных процессов,
исследование которых требует применения наряду с известными методами и новых операций – дифференцирования и интегрирования.
ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.
Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то такую последовательность называют бесконечной, а если последовательность определена на множестве первых n натуральных чисел, то её называют конечной.
В общем виде числовая последовательность записывается в следующим образом: а1, а2, …аn.
Значения последовательности а1, а2, …аn, … называют ее членами. Обычно члены последовательности обозначают буквой с индексами. Последовательность иногда обозначают так: 
. Это означает, что задана последовательность с общим членом аn. По данному общему члену всегда можно найти любой член последовательности.
СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а поэтому некоторые свойства функций рассматриваются и для последовательностей.
Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего.
Последовательность называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Последовательность { an } называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство an ≤ М. Число М называется верхней границей последовательности{ an }. Если последовательность ограничена сверху, то она имеет бесконечное количество верхних границ.
Последовательность{ an } называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство an ≤ m. Число m называется нижней границей последовательности{ an }.
Последовательность { an } называется ограниченно й, если она ограничена снизу и сверху, то есть m ≤ an ≤ M (n ∈ N).
Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.
СПОСОБЫЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: словесный, аналитический и рекуррентный.
Последовательность задана словесно, если правило задания последовательности описано словами, без указания каких-либо формул.
Говорят, что последовательность задана аналитически, еслиуказана формула ее n -го члена.
Например: 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
В приведенных примерах, подставляя конкретное значение n в формулу, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.
Рекуррентный способ задания числовой последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n -ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.
Реши самостоятельно: Запишите первые 10 членов последовательности, заданной различными способами:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
n-е натуральное число, делящееся на 6;
е) n-е простое число;
ж) n-е натуральное число, являющееся полным квадратом;
з) остаток от деления на 5 числа 
;
и) остаток от деления числа 
на 
;
Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяются: