ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Число а называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки а содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Это обозначают так: (читают: предел последовательности а_n равен а при стремлении n к бесконечности).

Сходящаяся последовательность - э то последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a.

Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Бесконечно малая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю:

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, имеющая бесконечно большой предел.

ТЕОРЕМЫО ПРЕДЕЛАХ

1. Предел постоянной равен этой постоянной: .

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения равен произведению пределов:

5. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя отличен от нуля: , если

6. .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям математического анализа и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой.

Попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.

2. Научиться решать основные типы пределов.

Итак, что же такое предел? Рассмотрим на примере

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .

2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (∞).

3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Сначала рассмотрим примеры непосредственного нахождения предела функции в точке. Предел функции в точке - .

Как решить вышерассмотренный пример?

Нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Пример 1. Найти

Пример 2. Найти

Замечание: перед решением необходимо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при .

Реши самостоятельно: 1) ; 2) 3) 4)

5)

Рассмотрим теперь примеры, когда применение свойств предела становится возможным лишь после некоторых предварительных преобразований (разложение на множители).

Пример 3. Найти

Реши самостоятельно:

1) 2) 3) 4)

Рассмотрим теперь примеры на применение еще одного предварительного преобразования (умножение на сопряженное число).

Пример 4. Найти .

Реши самостоятельно: 1) ; 2) ; 3)

ПРЕДЕЛЫС НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ВИДА И МЕТОД ИХ РЕШЕНИЯ

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 5. Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Реши самостоятельно: 1) ; 2) .

При раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.

2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.

3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.