Для нахождения наибольшего и наименьшего значений (или всего множества значений) данной функции нужно найти ее значения в точках экстремумов и на концах области определения (или заданного промежутка). Исследуем также функцию на монотонность, чтобы обосновать, полученное значение действительно наибольшее или наименьшее.
1. При каких значениях параметра наименьшее значение функции 
на отрезке 
равно 1? Решение. Наименьшее значение функции на отрезке принимается либо в точке экстремума (для квадратичной функции это вершина параболы), либо на концах отрезка, если вершина лежит вне этого отрезка. Поскольку ветви данной параболы направлены вверх, то, если вершина правее отрезка, то наименьшее значение на правом конце, если вершина левее отрезка, то наименьшее значение на левом конце, если вершина внутри отрезка, то наименьшее значение в вершине. В данном случае абсцисса вершины 
, значит, при 
должно быть 
, при 
должно быть 
, при 
должно быть 
. Решаем три системы: 1) 
, 2) 
, 3) 
. Ответ: 2; 0,5. 
2. При каких значениях 
наименьшее значение функции 
на отрезке 
достигается в точке 1? Решение. Найдем производную 
. Мы видим, что один экстремум функция имеет в точке 0, а второй — в точке 
. Какой из них — минимум, а какой — максимум, зависит от взаимного расположения этих точек: если 
, то в нуле минимум, и наоборот. Если в точке 0 минимум, то на отрезке значение 
— наибольшее. Если 
, то наименьшее значение на отрезке в точке 
, что тоже не удовлетворяет условию. Только при 
, наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке 1. Ответ: 
.
3. При каких значениях параметра наибольшее значение функции 
является целым числом? Решение. Преобразуем дробь, разделив числитель на знаменатель: 
. Теперь видно, что наибольшее значение функция имеет в той точке, в которой знаменатель принимает наименьшее значение. Найдем вершину параболы 
: 
. Значит, наибольшее значение функции 
. Найдем множество значений выражения 
с помощью производной (выполните самостоятельно): это отрезок 
. В этом промежутке есть только одно значение, при котором 
будет целым: 
. Отсюда 
. Ответ: 
.
4. При каких значениях наименьшее значение функции 
на отрезке 
отрицательно? Решение. Сделаем замену 
и получим функцию 
, 
. Преобразуем: 
. Данная функция отрицательна в интервале между точками и 
(которая из них больше — неизвестно). Если этот интервал пересекается с отрезком 
, то на этом отрезке есть отрицательные значения, и значит, наименьшее значение отрицательно. Проще найти, при каких значениях эти промежутки не пересекаются. При этом либо должна выполняться система 
, либо система 
. Т. е. либо 
, либо 
. Значит, промежутки пересекаются при 
. Ответ: .
5. Найти наибольшее значение функции 
на отрезке 
в зависимости от параметра. Решение. Так как 
, то при 
функция имеет экстремумы в точках 
, причем в точке 
максимум, а в точках 
— минимумы. Значит, наибольшее значение на данном отрезке функция имеет либо в точке 
, либо на одном из концов. Сравним значения функции в этих точках: 
, 
, 
. Чтобы выяснить, при каких какое из этих выражений больше, изобразим графики функций 
, 
, 
. По чертежу видим, что слева от точки пересечения первой и третьей парабол (при 
большими являются ординаты третьей параболы . А справа от этой точки большими являются ординаты . Значит, при 
наибольшее значение функции на отрезке равно , а при 
оно равно . Ответ: при , а при .