Приведем другой способ решений.

Задание 1 № 510677

В университетскую библиотеку привезли новые учебники для четырех курсов, по 70 штук для каждого курса. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Какое наименьшее количество шкафов потребуется, чтобы в них разместить все новые учебники?

Решение.

Всего привезли 70 4 = 280 учебников по ветеринарии. В книжном шкафу помещается 25 7 = 175 учебников. Разделим 280 на 175:

 

Значит, чтобы вместить все книги понадобится 2 шкафа.

 

 

Ответ: 2.

Задание 2 № 508958

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи за каж­дый месяц 1920 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся месяцы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цельсия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны линией. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми за ука­зан­ный период. Ответ дайте в гра­ду­сах Цельсия.

 

Решение.

Из графика видно, что наибольшая температура составляла 24 °C, а наименьшая — 4 °C, следовательно, их разность: 24 − 4 = 20.

 

Ответ: 20.

Задание 3 № 24219

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

см².

 

Ответ: 12.

Задание 4 № 285925

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение.

В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых 10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна

 

Ответ: 0,36.

Задание 5 № 105197

Решите уравнение

Решение.

Заметим, что и используем формулу Имеем:

 

Ответ: 0.

Задание 6 № 27908

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Решение.

значит,

 

Ответ: 18.

 

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Задание 7 № 27506

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x ₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x ₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

 

Ответ: − 0,25.

Задание 8 № 284795

В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра , — вершина. Известно, что , а Найдите площадь боковой поверхности.

Решение.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

 

 

 

Ответ: 45.

Задание 9 № 26995

Найдите значение выражения при

Решение.

Выполним преобразования:

 

Ответ: −0,5.

Задание 10 № 42311

К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 60 В? Ответ выразите в омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства В при известных значениях внутреннего сопротивления Ом, ЭДС В:

Ом.

Таким образом, наименьшее значение сопротивления нагрузки равно 1,6 Ом.

 

Ответ: 1,6.

Задание 11 № 5719

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна км/ч, а скорость теплохода против течения равна км/ч. На весь путь теплоход затратил 34 − 2 = 32 часов, отсюда имеем:

 

Ответ: 16.

Задание 12 № 502312

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение.

Оценим логарифм, выделив полный квадрат. В силу убывания логарифмической функции с основанием меньше 1 справедлива цепочка соотношений:

Поэтому в точке −3, лежащей на отрезке [−19; −1], функция достигает наибольшего значения, равного −1.

 

Ответ: −1.

Задание 13 № 511105

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке

Получаем:

 

Ответ: а) б)

Задание 14 № 520853

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В ₁ и С ₁, причем ВВ ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС ₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС ₁ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ ₁ и АС ₁, если АВ = 8, ВВ ₁ = 6, В ₁ С ₁ = 15.

Решение.

 

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС ₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС ₁ — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно угол АВС прямой.

Прямая СС ₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС ₁ (BС и СС ₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС ₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС ₁ прямой.

б) Поскольку прямые ВВ ₁ и СС ₁ параллельны, искомый угол равен углу АС ₁ С.

Треугольники АВС и АСС ₁ являются прямоугольными, поэтому:

 

; .

Ответ:

 

 

Приведем другой способ решений.

 

 

a) Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек A, B и C ₁. Пусть а радиус основания — r, тогда

Найдем координаты векторов и

Найдем длины векторов и

Найдем косинус угла между этими векторами:

 

Значит, угол АВС ₁ прямой.

Задание 15 № 520982

Решите неравенство

Решение.

Левая часть неравенства определена при поэтому при неравенство принимает вид:

откуда . Учитывая, ограничения получаем:

 

Ответ:

Задание 16 № 517265

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что ∠ CAN = ∠ CMN.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если

Решение.

 

а) Заметим, что тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.

б) Пусть тогда

Так как:

получаем:

 

По теореме синусов

 

Ответ:

Задание 17 № 513299

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Пусть в первой шахте х рабочих, а во второй шахте y рабочих заняты на добыче алюминия. Составим таблицу по данным задачи.

 

	Алюминий	Никель
Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг	Количество рабочих, чел	Количество металла за смену, кг
Шахта 1	x	5 x
Шахта 2	y	10 y
Всего

 

Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение y. Из (*) ясно, что наибольшее возможное y равно 70, при этом х = 0, Это означает, что 70 рабочих второй шахты должны быть заняты на добыче алюминия, а оставшиеся 30 рабочих второй шахты и все 20 рабочих первой шахты и должны быть заняты на добыче никеля. При этом они добудут 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг.

 

Ответ: 1050 кг.

Задание 18 № 484651

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решения.

Решение.

Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и

 

График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.

 

Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях.

 

1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1).

 

2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).

 

В первом случае , и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6. Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение , а должно иметь единственное решение.

 

Приведём уравнение к стандартному виду:

Из равенства нулю дискриминанта получаем

,

откуда

 

Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение

;

Оно имеет единственное решение, только если

 

Ответ: 3,5; 4; 4,5.

Задание 19 № 509097

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

Решение.

а) Да. Например, числа 1, 3, 5, 7 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

б) Так как все данные n чисел натуральные, то наименьшее из них больше или равно 1, а поскольку все эти числа различны (т. е. отличаются друг от друга не менее, чем на 1), то их сумма S не меньше суммы 1 + 2 +... +, т. е. Если известно, что S < 900, то из неравенства следует, что откуда n < 42 (при имеем: ). При n = 41 имеем: натуральные числа от 1 до 41 (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно 41, а сумма меньше 900. Таким образом, наибольшее возможное значение n в пункте б) равно 41.

в) Пусть — наименьшее из данных n чисел, образующих арифметическую прогрессию, d — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих n чисел равна Если известно, что сумма данных n чисел равна 235, то Заметим, что число 47 простое и (в пункте б) доказано, что ), то n — один из делителей числа 10.

Так как то возможные значения n = 5 или n = 10. Подставим в равенство поочередно n = 5 и n = 10, получаем следующие равенства: и Первое из этих равенств выполняется, например, при а второе — при Прогрессии 1, 24, 47, 70, 93 и 1, 6, 11, …, 46 состоят из 5 и 10 членов, а их сумма равна 235.

 

Ответ: а) да; б) 41; в) 5 и 10.