Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.
|
Следствие. 
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
|
Следствие. 
Примеры.__________________________________________________________
1. В ящике 25 деталей, из них 6 нестандартных. Найдем вероятность того, что две взятые наугад детали окажутся нестандартными.
Обозначим события: A − первая деталь окажется нестандартной, B− вторая деталь окажется нестандартной, AB − обе детали окажутся нестандартными. События A и B зависимы, поэтому
.
2. Произведен залп двух орудий по цели. Вероятность попадания из первого орудия (событие A) равна 0,8, из второго (событие B) − 0,75. Найдем вероятность события AB − совместного поражения цели двумя орудиями. Так как события A и B независимые, то
0,8∙0,75=0,6.
Сумма событий
Определение 5. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Обозначение: С=А+В, 
.
Примеры.__________________________________________________________
1. Событие «выпало не менее 5 очков» равно сумме двух несовместных событий: «выпало 5 очков» и «выпало 6 очков».
2. Два стрелка стреляют в цель. Пусть A− попадание первого стрелка, B− попадание второго стрелка. События A и B совместны, поэтому событие A+B означает, что в цель попал или первый стрелок, или второй стрелок, или попали оба стрелка.
Если рассматриваемые события несовместны, то их суммой является событие, состоящее в появлении только одного из этих событий.
Если события 
образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием: 
.
Если событияA и B − противоположные, то A+B=U, AB=V.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
|
Следствие 1. 
.
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Вероятность суммы двух совместных событий 
и 
равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий 
.
|
□ Событие 
состоит в появлении хотя бы одного из событий и . Противоположное ему событие 
состоит в том, что не произойдет ни одно из событий и , т.е. 
. Так как 
, то
■
Следствие 1. 
.
Следствие 2. Если события независимы в совокупности, то
.
Если 
, 
, …, 
, то
|
В частности, если 
, то
|
Примеры.__________________________________________________________
1. Вероятности банкротства для двух однотипных предприятий соответственно равны 0,1 и 0,2. Найдем вероятность банкротства хотя бы одного предприятия.
Обозначим события: 
− банкротство первого предприятия, 
− банкротство второго предприятия, тогда 
− банкротство хотя бы одного предприятия. События и независимые.
По условию 
=0,1; 
=0,2. Значит, 
=1−0,1=0,9; 
=1−0,2=0,8.
=1−0,9∙0,8=1−0,72=0,28.
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найдем вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах.
Обозначим события: − попадание при первом выстреле, − попадание при втором выстреле. События и независимы.
0,6; 
.
.
Элементы комбинаторики
При нахождении значений m и n целесообразно пользоваться элементами комбинаторики.
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов,отличающиеся только порядком следования элементов. Число всех возможных перестановок 
, где n!= 1*2*3***n.
Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо порядком их следования 
Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга либо составом элементов либо порядком их следования 
Размещения, перестановки и сочетания связаны равенством 
Определения сопровождаются примерами.