Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c34=1. Для этого элемента запасы равны 40, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.
x34 = min(40,30) = 30.
Таблица 13 – Опорный план 1
| В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | |||||
| А1 | u1=0 | ||||||||
| А2 | u2=0 | ||||||||
| А3 | u3=-1 | ||||||||
| v1=3 | v2=4 | v3=5 | v4=2 | v5=0 |
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7.
Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 7*3+30*5+3*0+23*3+17*4+10*3+30*1=368
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1= 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3
u2 + v1 = 3; 3 + u2 = 3; u2 = 0
u2 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4
u3 + v2 = 3; 4 + u3 = 3; u3 = -1
u3 + v4 = 1; -1 + v4 = 1; v4 = 2
u1 + v3 = 5; 0 + v3 = 5; v3 = 5
u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.
Задача имеет не единственное решение, т.к. среди оценок свободных ячеек присутствуют оценки равные нулю.
Поиск решения
На рисунке 3 представлен ход работы утилиты «Поиск решения».
На рисунке 4 представлен результат решения транспортной задачи.
Из рисунка 4 схема перевозок:
из 1-го склада необходимо груз направить 3-му потребителю в количестве 30 ед., 4-му потребителю в количестве 10 ед.;
из 2-го склада необходимо груз направить 1-му потребителю – 30 ед., 2-му потребителю – 7ед.;
из 3-го склада необходимо груз направить 2-му потребителю – 20 ед., 4-му – 20 ед.
На 2-ом складе остался невостребованным груз в количестве 3 ед.
При этом затраты будут минимальны и составят 368 ед.(целевая функция).
Рисунок 3 – Ход работы утилиты «Поиск решения»
Рисунок 4 – Результат решения транспортной задачи
Задача 3 ABC и XYZ-анализ
ABC -анализ
Разбить номенклатуру деталей на группы АВС. На основе данных таблицы 14 разбить номенклатуру деталей на группы А,В,С используя эмпирический метод.
Таблица 14 – Величина расхода и стоимость запасных частей
| № п/п | Наименование запасной части | Цена запасной части, руб. | Расход запасной части, шт. |
| Вкладыш коленчатого вала | |||
| Гильза | |||
| Фильтр масляный | |||
| Коленчатый вал | |||
| Вкладыш коренной | |||
| Прокладка | |||
| Головка блока цилиндров | |||
| Шатун | |||
| Топливный фильтр | |||
| Клапан выпускной | |||
| Фильтр | |||
| Блок цилиндров | |||
| Гаситель вибрации коленчатого вала | |||
| Распределительный вал | |||
| Клапаны | |||
| Поршень | |||
| Генератор | |||
| Рулевая тяга | |||
| Палец поршня | |||
| Шкив рулевого вала | |||
| Аккумулятор | |||
| Диск сцепления | |||
| Колодки тормозные | |||
| Шестерни | |||
| Предохранитель | |||
| Ремень зубчатый |
Продолжение Таблицы 14
| Тормозной шланг | |||
| Насос | |||
| Привод левый | |||
| Кольца поршневые | |||
| Амортизатор | |||
| Хомут | 1,5 | ||
| Звездочка | |||
| Привод правый | |||
| Ремни вентилятора | |||
| Гильза | |||
| Заглушка | 2,5 | ||
| Поршень | |||
| Дренажная трубка | 1,5 | ||
| Болт | |||
| Подшипник | 0,6 | ||
| Шайба | 0,4 | ||
| Гайка | 0,2 | ||
| Сальник коленчатого вала | 0,06 | ||
| Втулка | 0,02 | ||
| Шпилька | 0,025 | ||
| Штуцер | 0,015 | ||
| Вал первичный | |||
| Реле стеклоочистителя | |||
| Рампа |
Решение:
Для решения задачи произведем предварительные расчеты.
Рассчитываем затраты по каждой детали (таблица 2 столбец 6):
| (1) |
где Ц – цена запасной части, руб.;
Р – расход запасной части, шт.
Полученные значения Сi ранжируем – располагаем в убывающей последовательности
| Са ≥ Сb ≥…≥ Ci ≥…≥ Cm | (2) |
Затем производим присвоение новых индексов: а = 1, b = 2,…, т = N, где N - общее количество наименований деталей (номенклатура), т.е.
| C1 ≥ C2 ≥…≥ Ci ≥ …≥ CN | (3) |
Определим общие затраты на ЗЧ по всей номенклатуре (таблица 2 строка Сумма Сz):
| (4) |
где N – количество наименований запасных частей.
Рассчитаем среднюю стоимость одной детали номенклатуры (таблица 2 строка Среднее p):
| (5) |
Рассчитаем долю значения фактора по объекту в сумме значений фактора по всем объектам, % (таблица 2 столбец 7):
| (6) |
Величины qi суммируются нарастающим итогом 
(таблица 2 столбец 8) и в зависимости от последующего способа определения номенклатурных групп представляются в виде графика (графический метод).
Результаты предварительных расчетов приведен в таблице 2.
Таблица 15 – Упорядоченный список ЗП
| № п/п | Исх. № п/п | Наименование запасной части | Цена запасной части, руб., Ц | Расход запасной части, шт., Р | Затраты, руб. Ci | Доля значения фактора по объекту в сумме значений фактора по всем объектам, % qi | Нарастающий итог доли значений фактора в сумме значений фактора по всем объектам, %
| |
| Генератор | 43,47991 | 43,47991 | A | |||||
| Блок цилиндров | 6,353501 | 49,83341 | ||||||
| Поршень | 6,185747 | 56,01916 | ||||||
| Фильтр масляный | 6,057243 | 62,0764 | ||||||
| Клапаны | 4,965052 | 67,04145 | ||||||
| Головка блока цилиндров | 4,210595 | 71,25205 | ||||||
| Вкладыш коленчатого вала | 3,590568 | 74,84262 | ||||||
| Палец поршня | 3,128934 | 77,97155 | ||||||
| Рулевая тяга | 2,169097 | 80,14065 | ||||||
| Диск сцепления | 1,832458 | 81,97311 | B | |||||
| Шкив рулевого вала | 1,800794 | 83,7739 | ||||||
| Аккумулятор | 1,629153 | 85,40305 | ||||||
| Колодки тормозные | 1,316516 | 86,71957 | ||||||
| Гаситель вибрации коленчатого вала | 1,210543 | 87,93011 | ||||||
| Клапан выпускной | 1,013692 | 88,9438 | ||||||
| Предохранитель | 0,851524 | 89,79533 | ||||||
| Рампа | 0,828918 | 90,62425 | ||||||
| Шестерни | 0,765364 | 91,38961 | ||||||
| Вал первичный | 0,657239 | 92,04685 | ||||||
| Шатун | 0,647616 | 92,69446 | ||||||
| Ремень зубчатый | 0,590326 | 93,28479 | ||||||
| Тормозной шланг | 0,588741 | 93,87353 | ||||||
| Насос | 0,570626 | 94,44416 | ||||||
| Привод правый | 0,44533 | 94,88949 | ||||||
| Распределительный вал | 0,435631 | 95,32512 | ||||||
| Реле стеклоочистителя | 0,430159 | 95,75528 | С |
Продолжение Таблицы 15
| Амортизатор | 0,393098 | 96,14838 | С | |||||
| Привод левый | 0,390607 | 96,53898 | ||||||
| Кольца поршневые | 0,388569 | 96,92755 | ||||||
| Звездочка | 0,327582 | 97,25513 | ||||||
| Фильтр | 0,313995 | 97,56913 | ||||||
| Ремни вентилятора | 0,302749 | 97,87188 | ||||||
| Топливный фильтр | 0,289276 | 98,16115 | ||||||
| Хомут | 1,5 | 0,282256 | 98,44341 | |||||
| Коленчатый вал | 0,270821 | 98,71423 | ||||||
| Гильза | 0,206512 | 98,92074 | ||||||
| Вкладыш коренной | 0,195681 | 99,11642 | ||||||
| Гильза | 0,185454 | 99,30188 | ||||||
| Поршень | 0,141298 | 99,44318 | ||||||
| Дренажная трубка | 1,5 | 0,135637 | 99,57881 | |||||
| Заглушка | 2,5 | 3552,5 | 0,134071 | 99,71288 | ||||
| Прокладка | 0,132844 | 99,84573 | ||||||
| Болт | 0,049703 | 99,89543 | ||||||
| Шайба | 0,4 | 926,4 | 0,034962 | 99,93039 | ||||
| Подшипник | 0,6 | 727,2 | 0,027444 | 99,95784 | ||||
| Гайка | 0,2 | 0,018606 | 99,97644 | |||||
| Сальник коленчатого вала | 0,06 | 353,76 | 0,013351 | 99,98979 | ||||
| Втулка | 0,02 | 212,24 | 0,00801 | 99,9978 | ||||
| Шпилька | 0,025 | 42,95 | 0,001621 | 99,99943 | ||||
| Штуцер | 0,015 | 15,225 | 0,000575 | |||||
| Сумма, Cz | ||||||||
| Среднее, р | 52994,41 |
Эмпирический метод
Эмпирический метод базируется на данных обследований (таблица 15). Условно в нем можно выделить несколько вариантов, но наибольший интерес представляет «классический» вариант – «Правило Парето», когда координаты точки А принимаются, например, следующими: УА = 80%; ХА = 20%, т.е. «80/20», а координаты точки В, соответственно, УА+УВ = 95%, ХА+ХВ = 50%, т.е. «95/50». Таким образом, точка А определяет 20% границу номенклатуры, (А+В) – 50% номенклатуры.
В нашем примере граница групп А и В имеет значение
УА = 80,14% (ЗП 1-9),
УА+УВ = 95,32% (ЗП 1-25) к группе В будут относится ЗП 10-25;
к группе С будут относится ЗП 26-50 (таблица 15).
XYZ-анализ
Проведем XYZ-анализ продаж (таблица 16)
Таблица 16 - Продажи
| Продукт | Продажи | ||||||
| Январь | Февраль | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | |
| Продукт 1 | |||||||
| Продукт 2 | |||||||
| Продукт 3 | |||||||
| Продукт 4 | |||||||
| Продукт 5 | |||||||
| Продукт 6 | |||||||
| Продукт 7 | |||||||
| Продукт 8 | |||||||
| Продукт 9 | |||||||
| Продукт 10 |
Решение:
Для проведения XYZ-анализ необходимо рассчитать средне-квадратическое отклонение вариационного ряда по формуле:
| (7) |
где σ – среднее квадратическое отклонение;
xi – значение i-го периода;
– среднее значение за n периодов;
n – количество периодов.
Величина среднего квадратического отклонения позволяет оценить меру рассеивания значений вариантов относительно среднего арифметического. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем ближе к среднему находятся значения.
Если среднее квадратическое отклонение при анализе продаж одного товара равно 15, а у другого товара - 30, это значит, что ежемесячные продажи в первом случае ближе к среднемесячному значению и они более стабильны, чем во втором. Среднее квадратическое отклонение очень широко используется в логистике при планировании потребности и при расчете страховых запасов.
Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:
| (8) |
Основная идея XYZ-анализа состоит в группировании объектов по однородности анализируемых параметров, другими словами - по коэффициенту вариации.
Коэффициент вариации рассчитаем в Excel используя стандартные функции следующим образом:
= СТАНДОТКЛОНП (диапазон ячеек) /СРЗНАЧ (диапазон ячеек)
Далее произведем группирование товаров по величине коэффициента вариации.
В группу X попадают товары с коэффициентом вариации менее 10%.
В группу Y - товары с коэффициентом вариации от 10% до 25%.
В группу Z - товары с коэффициентом вариации более 25%.
На рисунке 5 представлен ход решения задачи.
Рисунок 5 – Ход проведения XYZ-анализа
На рисунке 6 представлен результат XYZ-анализа.
Рисунок 6 – Результат XYZ-анализа
В группу «Х» попали товары, которые имеют самый устойчивый спрос. Среднемесячный объем продаж отклоняется всего на 7% (товар1) и 9% (товар8).
Запасы товаров из группы «Z» можно сократить. Или вообще перейти по этим наименованиям на предварительный заказ.
Задача 4 Временной ряд
Задан временной ряд экономических показателей за три года (по месяцам) (первая строка – номер месяца, вторая – уровень ряда).
Таблица 17 – Исходные данные
Сгладить временной ряд
- методом простой скользящей средней;
- методом экспоненциального взвешивания при α=0,3 и α=0,1.
Результат сглаживания показать на графике. Визуально определить лучший результат.
Решение:
Рассчитаем простую скользящую среднюю за квартал по формуле:
| (9) |
Результаты расчета простой скользящей средней за квартал представлены в таблице 18.
|
| (10) |
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
| (11) |
Где St – значение экспоненциальной средней в момент t;
St-1 – значение экспоненциальной средней в момент (t-1);
α – вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Расчетные значения экспоненциальной средней представлены в таблице 18.
Результат сглаживания ряда представлен на графике (рисунок 7).
Таблица 18 – Результаты расчетов скользящей средней и экспоненциальной средней
| № месяца | Yi | Скользящая средняя за квартал | Экспоненциальная средняя при α=0,3 | Экспоненциальная средняя при α=0,1 |
| 83,3 | 83,60 | 83,20 | ||
| 82,0 | 83,12 | 83,08 | ||
| 80,7 | 81,88 | 82,67 | ||
| 79,7 | 81,62 | 82,50 | ||
| 80,3 | 80,83 | 82,15 | ||
| 81,3 | 80,88 | 82,04 | ||
| 81,7 | 81,82 | 82,23 | ||
| 80,3 | 81,27 | 82,01 | ||
| 78,7 | 79,99 | 81,51 | ||
| 77,0 | 79,69 | 81,26 | ||
| 75,7 | 78,29 | 80,63 | ||
| 74,3 | 76,70 | 79,87 | ||
| 73,3 | 76,19 | 79,38 | ||
| 72,0 | 74,93 | 78,64 | ||
| 71,0 | 73,15 | 77,68 | ||
| 69,7 | 72,81 | 77,11 | ||
| 69,7 | 71,37 | 76,20 | ||
| 69,7 | 70,66 | 75,48 | ||
| 69,3 | 71,06 | 75,13 | ||
| 69,3 | 69,84 | 74,32 | ||
| 68,0 | 69,59 | 73,79 | ||
| 67,3 | 69,11 | 73,21 | ||
| 65,3 | 67,88 | 72,39 | ||
| 64,0 | 66,41 | 71,45 | ||
| 63,0 | 65,69 | 70,70 | ||
| 61,3 | 64,58 | 69,83 | ||
| 58,7 | 62,61 | 68,65 | ||
| 57,0 | 60,63 | 67,39 | ||
| 56,0 | 59,54 | 66,35 | ||
| 53,7 | 58,18 | 65,21 | ||
| 49,3 | 55,42 | 63,59 | ||
| 46,7 | 52,00 | 61,63 | ||
| 47,3 | 50,50 | 60,17 | ||
| 47,3 | 50,65 | 59,25 | ||
| 48,65 | 57,73 |
Рисунок 7 – Сглаживание временного ряда
Из рисунка 7 видно, что лучшим результатом является сглаживание скользящей средней за квартал.