ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
.
Математические модели представляют собой формальное описание объекта с помощью абстрактных математических соотношений.
Процесс построения неизвестной ранее модели называется идентификацией.
Обобщенная структура модели системы
| ||
|
j(x, z, y, b) = 0
y = f(x, z, b, t)
y - выходные результирующие характеристики работы объекта;
x - входные воздействия;
z - характеристики текущего состояния объекта;
b -постоянные параметры.
Постановка задачи и этапы экспериментальной идентификации объектов.
Идентификацию можно осуществить одним из 2-х способов:
а) аналитическим, т.е. путем физико-математического или экономико-математического анализа внутренней структуры и свойств объекта с использованием известных законов и зависимостей физики, химии, электротехники, экономики и т.п. (по принципу «белого или прозрачногоящика »). Данный способ применяют для хорошо изученных реальных или проектируемых объектов и может использовать разнообразные математические методы, связанные со спецификой конкретного объекта.
б) экспериментальным, т.е. путем формального анализа экспериментальных данных о внешних наблюдаемых характеристиках объекта (X, Y) без рассмотрения внутренней структуры и физических свойств объекта (т.е. по принципу « черного ящика »). Для этого используют универсальные методы экспериментальной идентификации, применимые для различных форм физических объектов.
Общая постановка задачи экспериментальной идентификации состоит в получении адекватной математической модели на основе экспериментальных данных с минимальными затратами времени и средств.
Сбор экспериментальных данных для идентификации
может производиться в режимах активного или пассивного экспериментов:
а) пассивный эксперимент сводится к наблюдению естественных значений характеристик объекта без вмешательства в его работу.
Достоинства: организационная доступность в производственных системах и минимальные экономические потери.
Недостатки: невозможность получения данных в нужном диапазоне изменения(в частности в аварийных режимах); большие затраты времени на накопление представительной статистики.
б) активный эксперимент предусматривает подачу на объекты специальных испытательных или (тестовых) воздействий и наблюдение реакции объекта на эти воздействия.
Достоинства: возможность исследования характеристик в нужном диапазоне и в более короткие сроки.
Недостатки: организационные или экономические ограничения в промышленных условиях.
Активные эксперименты обычно выполняются по специальным планам составленными методами математического планирования эксперимента.
Классификация задач и математических методов, используемых при идентификации.
Построение статических моделей
1.1. Методы статистического исследования зависимостей:
Данные методы различаются в зависимости от характера входных 
и выходных 
переменных, которые могут быть:
- количественными, т.е. выраженными измеримыми величинами (температура, давление, вес и т.п.);
- неколичественными, которые в свою очередь разделяются на
а) порядковые (ординальные), выражающие степень проявления какого- либо свойства (разряд рабочего, сорт продукции и т.п.);
б) классификационные (номинальные), выражающие отношение объекта к какой-нибудь классификационной группе (вид растений, тип заболеваний и т.п.).
В зависимости от характера X и Y могут использоваться следующие методы:
Зависимости между количественными X и количественными Y:
а) корреляционный анализ;
б) регрессионный анализ.
Зависимости между количественными X и неколичественными Y (задачи классификации и распознавания образов):
а) дискриминантный анализ;
б) кластерный анализ;
в) метод группового учета аргументов (МГУА).
Зависимости между неколичественными X и количественными Y:
а) дисперсионный анализ;
б) факторный анализ.
Зависимости между неколичественными X и неколичественными или смешанными Y:
а) ковариационный анализ;
б) ранговая корреляция.
1.2. Методы математического планирования экспериментов.
В результате их применения можно добиться двух целей:
а) построение математических моделей;
б) отыскание оптимальных решений.
|
 | |||
 | |||
| x1 | x2 | x3 | … | … | xn | |
| y1 | y2 | y4 | … | … | yn |
y=f(x)
yi f(xi)
  
| |||||||||
| |||||||||
| 
| ||||||||
| |||||||||
| |||||||||
 
| |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
Линейная зависимость
 |  | ||
y=f(x; a,b)=a*x+b
 |  | ||
 |  |  | |||
 |
Линейный регрессионный анализ с использованием метода наименьших квадратов (МНК):
В данном случае уравнение регрессии строится в форме линейного полинома:
В матричной форме уравнение имеет вид:
где B - вектор искомых коэффициентов регрессии;
e- вектор ошибки.
Коэффициенты уравнений регрессии определяются по следующим формулам
Расчет выполняется на ЭВМ с использованием стандартных программ матричной алгебры или программ регрессионного анализа
полиномиальная нелинейная регрессия для одной независимой переменной позволяет получить уравнение вида:
