Построение статических моделей




ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

.

Математические модели представляют собой формальное описание объекта с помощью абстрактных математических соотношений.

Процесс построения неизвестной ранее модели называется идентификацией.

 

Обобщенная структура модели системы

   
 
Z
 
 
b

 


j(x, z, y, b) = 0

y = f(x, z, b, t)

 

 

y - выходные результирующие характеристики работы объекта;

x - входные воздействия;

z - характеристики текущего состояния объекта;

b -постоянные параметры.


Постановка задачи и этапы экспериментальной идентификации объектов.

 

Идентификацию можно осуществить одним из 2-х способов:

а) аналитическим, т.е. путем физико-математического или экономико-математического анализа внутренней структуры и свойств объекта с использованием известных законов и зависимостей физики, химии, электротехники, экономики и т.п. (по принципу «белого или прозрачногоящика »). Данный способ применяют для хорошо изученных реальных или проектируемых объектов и может использовать разнообразные математические методы, связанные со спецификой конкретного объекта.

б) экспериментальным, т.е. путем формального анализа экспериментальных данных о внешних наблюдаемых характеристиках объекта (X, Y) без рассмотрения внутренней структуры и физических свойств объекта (т.е. по принципу « черного ящика »). Для этого используют универсальные методы экспериментальной идентификации, применимые для различных форм физических объектов.

Общая постановка задачи экспериментальной идентификации состоит в получении адекватной математической модели на основе экспериментальных данных с минимальными затратами времени и средств.

 


Сбор экспериментальных данных для идентификации

может производиться в режимах активного или пассивного экспериментов:

а) пассивный эксперимент сводится к наблюдению естественных значений характеристик объекта без вмешательства в его работу.

Достоинства: организационная доступность в производственных системах и минимальные экономические потери.

Недостатки: невозможность получения данных в нужном диапазоне изменения(в частности в аварийных режимах); большие затраты времени на накопление представительной статистики.

б) активный эксперимент предусматривает подачу на объекты специальных испытательных или (тестовых) воздействий и наблюдение реакции объекта на эти воздействия.

Достоинства: возможность исследования характеристик в нужном диапазоне и в более короткие сроки.

Недостатки: организационные или экономические ограничения в промышленных условиях.

Активные эксперименты обычно выполняются по специальным планам составленными методами математического планирования эксперимента.


Классификация задач и математических методов, используемых при идентификации.

Построение статических моделей

1.1. Методы статистического исследования зависимостей:

Данные методы различаются в зависимости от характера входных и выходных переменных, которые могут быть:

- количественными, т.е. выраженными измеримыми величинами (температура, давление, вес и т.п.);

- неколичественными, которые в свою очередь разделяются на

а) порядковые (ординальные), выражающие степень проявления какого- либо свойства (разряд рабочего, сорт продукции и т.п.);

б) классификационные (номинальные), выражающие отношение объекта к какой-нибудь классификационной группе (вид растений, тип заболеваний и т.п.).

В зависимости от характера X и Y могут использоваться следующие методы:

Зависимости между количественными X и количественными Y:

а) корреляционный анализ;

б) регрессионный анализ.

Зависимости между количественными X и неколичественными Y (задачи классификации и распознавания образов):

а) дискриминантный анализ;

б) кластерный анализ;

в) метод группового учета аргументов (МГУА).

Зависимости между неколичественными X и количественными Y:

а) дисперсионный анализ;

б) факторный анализ.

Зависимости между неколичественными X и неколичественными или смешанными Y:

а) ковариационный анализ;

б) ранговая корреляция.

 

 

1.2. Методы математического планирования экспериментов.

В результате их применения можно добиться двух целей:

а) построение математических моделей;

б) отыскание оптимальных решений.


Использование МНК

 

       
   
 
 

 

 


x1 x2 x3   xn
y1 y2 y4   yn

 

y=f(x)

yi f(xi)

 

 

                 
                 
               
                 
                 
                 
                 
                 
                   

 

 

 

 

 

 

 

 


Линейная зависимость

 

       
   
 

y=f(x; a,b)=a*x+b

       
   
 

 


           
     
 


 
 

 


Линейный регрессионный анализ с использованием метода наименьших квадратов (МНК):

В данном случае уравнение регрессии строится в форме линейного полинома:

 

 

В матричной форме уравнение имеет вид:

где B - вектор искомых коэффициентов регрессии;

e- вектор ошибки.

 

Коэффициенты уравнений регрессии определяются по следующим формулам

 

Расчет выполняется на ЭВМ с использованием стандартных программ матричной алгебры или программ регрессионного анализа

 

полиномиальная нелинейная регрессия для одной независимой переменной позволяет получить уравнение вида:




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: