1. Решить задачу об использовании сырья геометрическим способом и симплекс методом, дать экономическую интерпретацию.
| 
| 
|
|
Геометрический способ.
Пусть 
количество выпускаемой продукции первого вида, тогда 
количество выпускаемой продукции второго вида. Прибыль от реализации всей продукции составляет 
.
Цель задачи (максимализация прибыли) запишется в виде
Структура всех трёх ограничений одинакова 
Перейдём из неравенств к уравнениям
Построим прямые на плоскости 
Многоугольник решений 
. Для нахождения максимума функции построим начальную прямую 
и вектор 
. Передвигая прямую вдоль вектора 
получим, что максимальное значение наша прямая принимает в точке 
точке пересечения прямых 
и 
.
.
Симплекс метод.
Приведём систему неравенств к системе уравнений
Целевая функция – функция прибыли
Составим симплекс таблицу:
- Первое ограничение запишем в первую строку
- Второе ограничение запишем во вторую строку
- Третье ограничение запишем в третью строку
Целевую функцию запишем в 
строку
| Б | З | 
| 
| 
| 
| 
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| ||||||
|
| 
| 
|
В строке есть отрицательные 
начальный план не оптимален. Найдём наименьший отрицательный элемент строки 
. Переменная будет включена в базис. Столбец переменной – ведущий. Подсчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное 
третья строка ведущая, а элемент 
разрешающий. Следовательно переменная выйдет из базиса.
Проведём одну интеракцию метода замещения Жордано-Гаусса. Столбцы. Разрешающий элемент
равен 
поделим третью строку на 5, столбец сделаем единичным для этого третью строку умножим на 
и прибавим к первой строке, третью строку умножим на 
и сложим со второй строкой; третью строку сложим со строкой . Получим новую симплексную таблицу
| Б | З |
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| ||||
|
| 
|
| ||||
|
| 
|
В строке есть отрицательные план не оптимальный. Рассчитаем симплексные отношения и найдём среди них минимальное 
вторая строка ведущая разрешающий 
Следовательно, переменная выйдёт из базиса. Так как разрешающий элемент , поделим строку, соответствующую переменной на 
. Элементы столбца, соответствующего переменной 
отличны от элемента 
сделаем нулевыми, для этого вторую строку умножим на 
и прибавим к первой; вторую строку умножим на 
и прибавим к третьей; вторую строку умножим на 
и прибавим к строке . Получим новую симплексную таблицу
| Б | З |
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| ||||
|
|
| 
|
В строке есть отрицательный элемент – пересчитываем таблицу. Рассчитываем симплексные отношения и найдём среди них минимальные 
первая строка ведущая 
разрешающий элемент 
переменная выйдет из базиса. Сделаем элемент 
единичным, для этого поделим первую строку на . Столбец, соответствующий переменной сделаем единичным для этого первую строку умножим на 
и прибавим ко второй строке. Первую строку умножим на 
и прибавим к третьей. Первую строку умножим на 
и прибавим к строке 
. Получим новую симплексную таблицу.
| Б | З | 
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| ||||
|
| 
| 
| ||||
|
|
|
|
Так как в строке 
все элементы неотрицательны, то найден оптимальный план
Оптимальный план найденный геометрическим способом и симплексным методом совпадают. Предприятию необходимо выпускать 12 единиц продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида. В этом случае предприятие получит прибыль 
денежных единиц.
2. Решить транспортную задачу распределительным методом, оценивая свободные клетки по методу потенциалов.
 
| ||||
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи
Потребность в грузе равна запасам груза 
задача закрытая, следовательно, имеет единственное решение.
Используя метод наименьшей стоимости заполним таблицу.
Среди тарифов наилучшим является 
и 
. Направим например,
в клетку 
в клетку 
в клетку 
в клетку 
в клетку 
в клетку 
в клетку 
Запасы поставщиков исчерпаны, запросы потребителей удовлетворены полностью. В результате получили первый опорный план. Подсчитаем число занятых клеток таблицы их 7, а должно быть 
опорный план не вырожденный.
Определим значение целевой функции первого опорного плана
Проверим оптимальность плана.
Найдём потенциалы 
и 
по занятым клеткам таблицы
Пусть 
, тогда:
Подсчитаем оценки свободных клеток 
Первый опорный план не является оптимальным так как 
.
Переходим к его улучшению. Для клетки 
строим цикл перераспределения
В результате получили новый опорный план
| ||||
Определим значение целевой функции
Проверим оптимальность плана
Подсчитаем оценки свободных клеток
План близок к оптимальному.
При дальнейшем перераспределении груза, задача входит в циклическую фазу, план не улучшается. Таким образом, полученное решение является наиболее оптимальным для нашей задачи