ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Комментарий. Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.

Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: , .

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Формулы сложения.

1. .

2. .

3. .

Формулы двойных и половинных углов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Формулы преобразования суммы в произведение:

Формулы преобразования произведения в сумму:

· .

Формулы приведения:

φ	α
sin φ	- sin α	cos α	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α
cos φ	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α	cos α	cos α
tg φ	- tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α
ctg φ	- ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.

Пример 1 .Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.

Решение

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .

Так как по условию задачи cosα = 0,3, то c os²α = 0,09.

Значит, sin²α + 0,09 = 1, sin²α = 1 – 0,09 = 0,91.

Решая уравнение sin²α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один.

Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2. Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции

y = tg α; y = ctg α; tg α * ctg α = 1.

Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1,

откуда tg α = 5.

Ответ: 5.

Пример 3. Упростите выражения:

1) ;2) ;

3) ;4) ;

5) ;6) .

Решение

Данные задания — на применение формул сложения.

1) .

Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .

2) .

3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .

4) .

5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .

6) .

Ответ: .

Пример 4. Вычислите:

1) ;2) ;3) ;4) ;5) .

Решение

1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда .

2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .

3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º. Следовательно, .

Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .

4) .

Окончательно получаем, что .

5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º). Тогда .

Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .

Ответ: .

Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.

Пример 5. Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin²α;2) sin⁴α + cos⁴α;3) sin⁶α + cos⁶α.

Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что: sin²α - 2sinα cosα + cos²α = 0,09.

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла: 1 - sin²α = 0,09, откуда: sin²α = 1 - 0,09 = 0,91.

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Для этого сумму sin⁴α + cos⁴α представим в специальном виде: sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α cos²α + cos⁴α) - 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α)2 - 1/2 α sin²2α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1.

При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов. sin⁶α + cos⁶α = (sin²α)³ + (cos²α)³ = (sin²α + cos²α)(sin⁴α - sin²α cos²α + cos⁴α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.

Ответ:

1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.

Пример 6. Найти tg α, если

Решение

Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно.

Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби): , следовательно, тогда: раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые: 3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.

Ответ: 7.

Пример 7. Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и

Решение

Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус.

Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: , то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.

В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: Ответ:

Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.

Пример 8. Найти значение выражения: .

Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.

С целью сокращения дроби воспользуемся формулой «разность кубов» и получим: .

Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества.

Таким образом: .

Обратимся далее к преобразованию второй дроби.

Применим одну из формул приведения: . Поэтому:

Тогда .

Окончательно получаем:

Ответ: 1.

Пример 9 .Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º.

Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º) = 1/2 cos 40º - 1/4.

Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем:

Ответ:

Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.

Пример 10. Упростить выражение: .

Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя.

Для этого применим представление : .

Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю: .

Следовательно,

Ответ:

Пример 11. Доказать тождество при Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.

Решение

В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α: . Вспомнив, что , получаем

Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения: sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;при следовательно,

Таким образом:

Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: Тогда, , что и требовалось доказать.

Пример 12. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .

Решение Выпишем формулы для вычисления искомых функций:

Из основного тригонометрического тождества вычислим: Далее найдем значения искомых выражений: Ответ:

Пример 13. Доказать тождество .

Решение

Приведем левую часть к 1:

Тождество доказано.

Пример 14.

Вычислить значение выражения: . Решение

Обратим внимание, что

Далее, используя формулы приведения, получим:

Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:

Итак, значение выражения равно 0.

Ответ: 0.

Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:.

Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.

Пример 15. Вычислить cos(4arctg 5).

Решение

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α.

Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку: