Комментарий. Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: ,
.
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Формулы сложения.
1. .
2. .
3. .
Формулы двойных и половинных углов.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
Формулы преобразования суммы в произведение:
![]() | ![]() |
![]() | |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Формулы преобразования произведения в сумму:
· .
· .
· .
Формулы приведения:
φ | α | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
sin φ | - sin α | cos α | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α |
cos φ | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α | cos α | cos α |
tg φ | - tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α |
ctg φ | - ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α |
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Пример 1 .Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .
|
Так как по условию задачи cosα = 0,3, то c os2α = 0,09.
Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91.
Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один.
Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .
Ответ: .
Пример 2. Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.
Решение
Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции
y = tg α; y = ctg α; tg α * ctg α = 1.
Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1,
откуда tg α = 5.
Ответ: 5.
Пример 3. Упростите выражения:
1) ;2)
;
3) ;4)
;
5) ;6)
.
Решение
Данные задания — на применение формул сложения.
1) .
Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .
2) .
3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .
4) .
5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .
6) .
Ответ: .
Пример 4. Вычислите:
1) ;2)
;3)
;4)
;5)
.
Решение
1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда .
2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .
3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º. Следовательно, .
Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .
4) .
Окончательно получаем, что .
5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º). Тогда .
Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно,
.
Ответ: .
Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
|
Пример 5. Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin2α;2) sin4α + cos4α;3) sin6α + cos6α.
Решение
1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что: sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.
Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла: 1 - sin2α = 0,09, откуда: sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.
2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.
Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде: sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α) - 2sin2α cos2α = (sin2α + cos2α)2 - 1/2 α sin22α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1.
При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.
3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов. sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3 = (sin2α + cos2α)(sin4α - sin2α cos2α + cos4α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.
Ответ:
1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.
Пример 6. Найти tg α, если
Решение
Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно.
Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби): , следовательно,
тогда:
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые: 3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.
Ответ: 7.
|
Пример 7. Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и
Решение
Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус.
Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: , то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.
В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: Ответ:
Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Пример 8. Найти значение выражения: .
Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
С целью сокращения дроби воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:
.
Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества.
Таким образом: .
Обратимся далее к преобразованию второй дроби.
Применим одну из формул приведения: . Поэтому:
Тогда .
Окончательно получаем:
Ответ: 1.
Пример 9 .Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º.
Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º) = 1/2 cos 40º - 1/4.
Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем:
Ответ:
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Пример 10. Упростить выражение: .
Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя.
Для этого применим представление :
.
Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю: .
Следовательно,
Ответ:
Пример 11. Доказать тождество при Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
Решение
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α: . Вспомнив, что
, получаем
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения: sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;при
следовательно,
Таким образом:
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: Тогда,
, что и требовалось доказать.
Пример 12. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .
Решение Выпишем формулы для вычисления искомых функций:
Из основного тригонометрического тождества вычислим: Далее найдем значения искомых выражений:
Ответ:
Пример 13. Доказать тождество .
Решение
Приведем левую часть к 1:
.
Тождество доказано.
Пример 14.
Вычислить значение выражения: . Решение
Обратим внимание, что
Далее, используя формулы приведения, получим:
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:
Итак, значение выражения равно 0.
Ответ: 0.
Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:.
Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.
Пример 15. Вычислить cos(4arctg 5).
Решение
Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α.
Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:
Тогда получаем, что:
Ответ:
Пример 16. Выразить через все обратные функции
Решение
Пусть .
Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0. Найдем все тригонометрические функции угла:
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .
Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти.
В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть
, тогда
.
Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно,
.
Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.
Ответ:
Пример 17. Найти arcsin (sin 12).
Решение
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что
, поэтому
.
Поскольку , угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.
Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4π.
Пример 18. Вычислить
Решение
Введем два угла: Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны.
Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.
Во-первых,
Во-вторых, . Следовательно,
Ответ: