Интерполяция
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность.
Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn = b. Функция Sk(x) называется сплайн-функцией Sk(x) степени k≥0 на Kn, если
а) Sk(x) є Ck-1([a, b])
б) Sk(x) - многочлен степени не большей k
Сплайн-функция Ŝk(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝk(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,n
В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.
Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [xj-1,xj]
Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:
Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:
относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:
Нормальный случай(N):
Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):
Заданное сглаживание на границах:
Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
| j | xj | yj | hj | yj-yj-1 |
| π/2 | ||||
| π/2 | π/2 | -1 | ||
| π | π/2 | -1 | ||
| 3π/2 | -1 | π/2 | ||
| 2π |
Сплайн-функция получается такая:
Формула Тейлора
Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах
Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x - a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида
называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.
С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:
| 
|
| 
|
|
Приближенные вычисления
Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:
Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: 
, x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и 
при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:
С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:
| 
| 
|
| 
| 
|
Заключение
Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.
Литература
| М. Я. Выгодский | Справочник по высшей математике |
| И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев | Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов |
| И. М. Уваренков, М. З. Маллер | Курс математического анализа,т.1 |
| В. А. Дударенко, А.А. Дадаян | Математический анализ |
| Н. С. Пискунов | Дифференциальное и интегральное исчисления |
| Т. И. Трофимова | Курс физики |
| О. О. Замков А. В. Толстопятенко Ю. Н. Черемных | Математические методы в экономике |
| А. С. Солодовников В. А. Бабайцев А. В. Браилов И.Г. Шандра | Математика в экономике |
Содержание:
Введение
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
1-2. Понятие производной
1-3. Правила дифференцирования и таблица производных
2. Геометрический смысл производной
2-1. Касательная к кривой
2-2. Касательная плоскость к поверхности
3. Использование производной в физике
3-1. Скорость материальной точки
3-2. Теплоемкость при данной температуре
3-3. Мощность
4. Дифференциальное исчисление в экономике
4-1. Исследование функций
4-2. Эластичность спроса
4-3. Предельный анализ
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
5-2. Формула Тейлора
5-3. Приближенные вычисления
Заключение
Список использованной литературы