Расчет отклонений параметров

РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ

КОМПОНЕНТЫ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

 

Допущено учебно-методическим советом приборостроительного факультета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по радиотехническим специальностям.

 

 

Ижевск

 

 

УДК 621.382.8(075)

 

 

Рецензенты:

 

Кафедра “Конструирование радиоаппаратуры” Ижевского государственного технического уни­­вер­ситета (зав. кафедрой канд. физ.-мат. доц. П.А. Ушаков) и доктор техн. наук, проф. Ю.К. Шелковников (Физико-технический институт Уральского отделения РАН)

 

Радиоэлектронные компоненты в примерах и задачах: Учеб. пособие.– Ижевск: ИжГТУ, 2003.– 264 с., ил.   В книге приведены вопросы и задачи, решение которых должно способствовать приобретению практических навыков по проектированию и применению пассивных радиоэлектронных компонентов, даются примеры решения задач. Вопросы и задачи могут быть использованы на практических занятиях, при контроле самостоятельной работы студентов, в качестве индивидуальных домашних заданий, а также при подготовке к зачетам и экзаменам. Пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей. Оно также мо­­жет быть по­­лез­но преподавателям, ведущих занятия по соответствующим дисциплинам.

 

ã Демаков Ю.П., 2003

ã Ижевский государственный

технический университет, 2003

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Сборник задач предназначен для студентов вузов, изучающих дисциплины «Радиоматериалы и радиокомпоненты», «Радиоэлектронные компоненты и микроэлектроника», «Радиокомпоненты и узлы РЭС». Задачи по­до­­браны в соответствии с рабочими программами указанных кур­сов.

Ранее не издавались задачники по радиоэлектронным компонентам (в дальнейшем - радиокомпонентам). Автором сделана попытка объединения в едином пособии задач, содержание которых наиболее полно отражает практическую сторону проектирования радиокомпонентов – резисторов, конденсаторов, трансформаторов, электромагнитных реле и устройств на их основе. Данное учебное пособие содержит более 200 задач и вопросов. Большая часть вопросов и задач составлена автором, тематика части задач подсказана источниками, указанными в списке литературы.

Книга не претендует на роль учебника по изучению радиоэлектронных компонентов. Цель данного учебного пособия - научить студентов решать практические задачи проектирования и применения радиокомпоненты. Вместе с тем, в начале каждого раздела книги приводятся вопросы для самостоятельной проверки знаний общих вопросов, рассматриваемым в соответствующих разделах курса, а изложение теоретических основ дисциплины осуществляется в виде примеров решения типовых задач. Последующая тре­нировка обучаемого в решении приведенных далее задач позволяет ему успешнее преодолевать трудности, возникающие при изучении соответствующих курсов. Некоторые задачи могут показаться читателю достаточно «простыми» и «скучными», однако процесс их решения отражает рутинную сторону проектирования пассивных радиокомпонентов частного применения. Решение задач, кроме того, помогает глубже понять физический смысл явлений, происходящих в радиокомпонентах, закрепить в памяти формулы, укрепляет навыки практического применения теоретических знаний. Теоретические сведения по курсу приведены в учебных пособиях [1-3]. Сведения по радиоматериалам и радиокомпонентам представлены в книгах [4-12]

В данную книгу, состоящую из семи разделов, включены вопросы и задачи различной сложности, однако для их решения, как правило, не требуется знаний, выходящих за рамки типовой программы и учебников по соответствующим дисциплинам. В книге приведен достаточно большой объем справочных данных, что позволяет преподавателю и обучающемуся, «генерировать» задачи с новыми исходными данными.

При решении задачи необходимо прежде всего установить расчетные соотношения, которые лежат в ее основе. Затем следует найти решение задачи или части ее в общем виде, причем искомая величина должна быть выражена через заданные величины. После этого можно перейти к подстановке числовых данных, выраженных обязательно в одной и той же системе единиц. Как правило, следует пользоваться единицами системы СИ, числовой ответ обязательно должен иметь наименование единицы измерения (размерности).

При получении числового ответа следует обращать внимание на точность окончательного результата, которая не должна превышать точности исходных величин. Большую часть задач достаточно решать с точностью до двух-трех знаков после запятой.

Необходимые для решения задач справочные данные обычно указаны в условиях задачи. В ряде случаев необходимые для решения данные следует брать из справочных таблиц, приведенных в приложениях, или из справочников, ссылки на которые указаны в списке литературы.

При написании книги автором был учтен многолетний опыт преподавания на приборостроительном факультете Ижевского государственного технического университета.

 

РАСЧЕТ ОТКЛОНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ

РАДИОКОМПОНЕНТОВ

 

В этом разделе изучаются параметры радиокомпонентов, методы расчета производственных погрешностей и температурных нестабильностей параметров радиокомпонентов.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите определение радиокомпонентов. В чем заключается отли­чие пас­­­сив­ных радиокомпонентов от активных?

2. Объясните, каким образом формируются ряды пред­поч­ти­те­ль­ных чи­сел, рекомендованные МЭК.

4. Дайте определения параметров, характеризующих устой­чи­вость ра­дио­­компонентов к дестабилизирующим воздействиям.

5. Перечислите виды климатического исполнения и категории размещения изделий.

6. Приведите определения частости, среднего значения, дис­пер­­сии.

7. Напишите выражение для нормального закона рас­пре­де­ле­ния.

8. Дайте определение интегральной функции распределения ве­­ро­­ят­нос­ти.

9. Поясните, как по графику непрерывной функции распре­де­ле­­ния W (y) сформировать совокупность случайных дискретных зна­­че­ний параметра у, отражающих эту функцию распределения.

10. Объясните сущность метода статистического моде­ли­ро­ва­ния.

11. Составить структурную схему алгоритма расчета на ЭВМ от­кло­­­­нений параметров радиокомпонентов методом Монте-Карло.

Примеры решения задач

Пример 1.1. Рассчитать поле допуска D y = y _max – y _min параметра радиокомпонента при следующих исходных данных:

1) номинальное значение параметра y _н=4,7 мкФ;

2) предельное максимальное отклонение па­­­­ра­метра d y _max= +50%;

3) предельное минимальное отклонение па­­­­ра­метра d y _min = – 20%.

Решение.

1. Величины d y _maxи d y _min свя­заны с мак­си­ма­ль­ным y _max и ми­ни­ма­ль­ным y _min значениями па­ра­ме­т­ра y со­от­но­­ше­ни­я­ми:

 

, % (1.1а)

,%. (1.1б)

2. Из со­от­но­­ше­ний (1.1а и 1.1б) рассчитаем значения верхней и ни­ж­ней границ поля допуска:

(1.2)

Ответ. D y =7,05-3,76=3,29 мкФ.

Пример 1.2. Рассчитать границы половины поля допуска D y/ 2 параметра радиокомпонента при следующих исходных данных:

1) номинальное значение параметра y _н=3,9 кОм;

2) допускаемые отклонения па­­­­ра­метра d y =±10%.

Решение.

1. Границы половины по­ля до­пуска параметра рассчитываются по формуле

. (1.3)

Подставляя в формулу (1.3) исходные данные задачи, получим

кОм

Рас­положение со­ответс­т­ву­­ющих величин y _н, y _max, y _minна чис­ло­вой оси для слу­чая симметричных до­пус­ков показано на рис. 1.1.

Ответ. D y /2=0,39 кОм.

Пример 1.3.. Построить десятичный ряд предпочтительных чисел Е6. Доказать, что предельное отклонение значений членов ряда не превышают 25%.

Решение.

Численные значения большинства параметров ра­дио­ком­понентов назначаются из рядов предпочтительных чи­сел, ре­ко­­мендованных Меж­дународной элек­тро­технической комис­сией (МЭК) и установленных в ка­честве обязательных оте­чест­вен­ны­ми государственными стандартами (ГОСТами).

1. Номинальные значения элек­т­ро­­­сопро­­тивлений резис­то­ров и емкостей большинства конденсаторов назна­ча­ю­тся из де­ся­тич­ных рядов Е3, Е6, Е12, Е24, Е48, Е96, Е192. В обозначении ряда бук­ва Е указывает на принадлежность к десятичному ряду. Циф­ры после бук­вы Е ука­зы­­ва­ют на чис­ло номинальных зна­че­ний в каждом деся­тич­ном ин­тер­ва­ле (де­ка­де). Это чис­ло на­зы­ва­ется номером ряда. Зна­че­ние каж­до­го чле­на ря­да рассчитыва­ет­ся по фор­му­ле для геометри­чес­кой про­грес­сии:

, (1.4)

где у ₁– первый член ряда, всегда равный 1; – знаменатель ге­о­ме­т­рической прогрессии; m = 3, 6, 12, 24,..., 192 – номер ряда.

Из условия задачи, для ряда Е6

Ряд Е6 со­­дер­­­жит 6 номинальных значений параметров в каж­дой де­ка­­де, ко­то­рые согласно формуле (1.4) соответствуют числам

1,0; 1,5; 2,2; 3,3; 4,7; 6,8,

или чис­лам, по­лу­чен­ным путем их умножения и деления на 10 ^k, где k – целое по­ло­жи­тель­ное или отрицательное число.

2. Если номинальное значение параметра выбрано из деся­тич­ных ря­дов предпочтительных чи­сел Е3, Е6, Е12, Е24, ¼, то гра­ни­­цы по­ля до­пус­ка сог­ла­со­вываются с но­ме­ром ряда m. Для зна­че­­ний па­ра­мет­ров ра­дио­­ком­по­нен­тов из ря­да Е3 устанавливаются гра­­ницы поло­ви­ны поля до­пус­ка d y = 40%, из ряда Е6 – 20%, из ря­­да Е12 – 10%, из ря­да Е24 – 5% и т. д. Это связано с тем, что отно­си­тель­ное отклонение зна­че­ний соседних (n +1)-го и n -го членов ря­да гео­мет­ри­чес­­кой про­­грес­­сии (1.1) вы­ра­жа­ется со­от­но­­ше­ни­ем

. (1.5)

Для ряда Е3 величина знаменателя гео­мет­ри­чес­­кой про­­­грес­сии q равна 1,8, для ряда Е6 – 1,5, для ряда Е12 – 1,2, для ря­­да Е24 – 1,1 и т. д. Со­ответственно, согласно фор­му­­ле (1.5), d y = 40%, 20%, 10%, 5%....

Подставляя в формулу (1.5) величину q =1,5 для отно­си­тель­ных отклонений зна­че­ний соседних (n +1)-го и n -го членов ря­да гео­мет­ри­чес­­кой про­­грес­­сии (1.4), получим

.

Ответ. Десятичный ряд Е6 представлен числами: 1,0; 1,5; 2,2; 3,3; 4,7; 6,8. d y = 25%.

Пример 1.4.. Вывести формулу для расчета относительной про­из­­вод­­­ст­венной погрешности (до­пус­ка) δ у и температурного коэффициента a _y,T выходного па­ра­метра радиокомпонента (у) методом наихудшего случая.

Решение.

За­да­ча рас­че­та про­и­з­вод­ствен­ных погрешностей решается ме­то­дом разложения фун­к­ци­­о­на­ль­­ной за­ви­си­мос­ти ви­да

у = f (x ₁, x ₂, ¼, x_n), (1.6)

свя­зывающей выходной параметр у cо входными параметрами x ₁, x ₂, ¼, x_n, в ряд Тей­лора:

. (1.7)

где D у - от­­кло­­нения вы­­­­ходного параметра у; D х_i = х_i – х_{i 0}; х_{i 0}– но­­ми­на­льное значе­ние входного параметра.

При использовании метода наихудшего случая зависимость отклонения вы­­­ход­­ного па­раметра D у от отклонений входных парамет­ров D х_i вы­ра­жа­ется со­от­ношением

. (1.8)

В формуле (1.8) величина A_i = называется коэф­­­фи­­­циентом влияния (чувствительности) i-го входного па­ра­метра на абсо­лютное из­ме­не­ние выходного параметра у.

Для перехода к отно­си­тель­ным от­­кло­нениям поделим левую и правую части со­от­но­ше­ния (1.8) на ве­личину у ₀ = f (x ₁₀, x ₂₀, ¼, x_{n 0}). Дополнительно пра­вую часть ум­­но­жим и разделим на значение х_{i 0}. Тогда вы­ра­жение для рас­че­­та относительного отклонения выходного па­раметра D y / у ₀ при­об­­­ретает вид

. (1.9)

где называют коэффициентом влияния от­но­си­тель­­но­го откло­не­ния (относительным коэффициентом вли­я­ния) i-го вхо­­­д­­ного пара­мет­ра на относительное изменение выходного параметра у; d y = D y / у ₀, d x_i = D x / x_{i 0}.

Расчет температурного коэффициента выходного параметра a _y,T выполняется по формуле

, К^–1. (1.10)

где a _y,T =(D у /D Т)(1/ у ₀) – температурный коэф­фи­циент выходного параметра у, а =(дx_i / дТ)(1/ x_{i 0}) – тем­пе­ратурный ко­эф­фи­ци­ент i -го входного параметра; – относительный коэффициент вли­я­ния i -го вход­­но­го пара­мет­ра, подставляется в формулу (1.10) с учетом зна­ка.

Ответ. ; ,К^–1.

Пример 1.5. Вывести формулу для расчета абсолютной и относительной про­из­­вод­­­ст­венных погрешности v_у и температурного коэффициента a _y,T выходного па­ра­метра радиокомпонента (у) с применением вероятностно-статистического метода анализа точности пара­мет­­ров радиокомпонентов.

Решение.

При использовании этого метода в качестве меры отклонения параметра служит среднеквадратическое отклонение s_y, которое рассчитывается по формуле

, (1.11)

где – среднеквадратическое отклонение i -го вход­но­го па­­раметра x_i;

A_i = – коэф­фи­­­циент чувствительности, см. фор­мулу (1.8); - математическое ожидание i -го входного параметра.

Относительное среднеквадратическое отклонение выходного параметра рассчитывается по формуле

. (1.12)

где ; - относительные среднеквадра­тиче­ские откло­не­­ни­я­выходного у и входных x_i параметров, со­от­вет­ст­вен­но; – относительный коэффициент вли­я­ния i -го вход­­но­­го пара­мет­ра.

Максимальное относительное отклонение параметра δ у можно рассчитать по приближенной формуле δ у ≈ ±3 v_у.

При ис­поль­зо­ва­нии ве­­ро­ят­ностно-ста­тис­ти­чес­­кого ме­то­­да для расчета тем­пе­ра­тур­но­го коэ­ф­фи­циента вы­ход­но­го па­ра­ме­т­­ра a _y,T следует по фор­муле, аналогичной (1.10), рассчитать математическое ожи­да­ние слу­чайной ве­ли­­чи­ны a _y,T:

, К^–1, (1.13)

где – математические ожидания (средние значения) тем­­пе­­­ра­турных коэффициентов входных параметров х_i; B_i – коэф­фициенты влияния для каждого входного параметра.

Ответ. , , , К^–1.

Пример 1.6. Построить гистограмму сопротивления выборки ре­зисторов объема N =50 со значениями сопротивлений, приведенными в таблице 1.1. Рассчитать среднее значение сопротивления выборки, среднеквадратическое отклонение сопротивления и величину относительного предельного отклонения сопротивления.

Таблица 1.1

Значения сопротивлений выборки резисторов с R _н=4,7 кОм±10%

4,75	5,17	4,60	4,40	4,23	4,78	4,61	4,78	4,43	4,32
4,62	4,87	4,53	4,55	4,69	4,32	4,69	4,41	4,85	4,87
4,98	4,47	4,89	4,45	4,73	4,33	5,01	4,80	4,58	4,63
4,77	4,46	4,86	4,81	4,51	4,91	4,73	4,86	4,88	4,80
4,56	4,58	4,72	4,65	4,45	4,61	4,78	4,35	4,65	4,59

Решение.

Гистограмма представляет со­бой ста­тис­­ти­чес­кий ряд, офор­м­лен­ный графически в прямоугольной сис­теме ко­ор­динат (рис. 1.2). Статистический ряд - это ряд слу­чай­ных чи­сел, расположенных в по­ря­д­ке их воз­­растания. Статистический ряд случайных значений сопротивления резисторов из таблицы 1.1, расположенных по строкам в порядке возрастания, представлен на таблице 1.2.

Таблица 1.2