На каждом шаге итерационного процесса в методах линеаризации 1-3 необходимо решить три системы эллиптических разностных уравнений большой размерности. Прямые методы их решения громоздки и требуют больших вычислительных затрат. Поэтому, как правило, используют итерационные методы. Методам решения эллиптических разностных уравнений посвящена обширная литература [4][5]. Рассмотрим наиболее широко применяющиеся методы решения этих уравнений.
Матрицы систем разностных уравнений (3.25), (3.28) и (3.29) (линеаризованное уравнение Пуассона) имеют сильное диаганальное преобладание, и их числа обусловленности (отношение максимального собственного значения матрицы к минимальному) невелики.
Поскольку числа обусловленности невелики, то нахождение решения указанных систем разностных уравнений не вызывает затруднений.Обычно используется метод поточечной верхней релаксации.
Определение решений разностных аналогов уравнений неразрывности для электронов и дырок является значительно более трудной задачей. Коэффициенты этих уравнений зависят от потенциала электрического поля,который сильно меняется по структуре прибора. Данное обстоятельство приводит к плохой обусловленности (большим числам обусловленности) разностных уравнений. В связи с этим использование методов простой итерации и Зейделя [4][5], скорость сходимости которых обратно пропорциональна числу обусловленности, для решения разностных аналогов уравнений неразрывности требует очень больших вычислительных затрат.
Значительно более высокую скорость сходимости имеют метод верхней релаксации [3], метод переменных направлений и итерационный метод Чебышева [4]. Однако эффективность этих методов в случае плохо обусловленных систем разностных уравнений существенно зависит от выбора специальных итерационных параметров. Оптимальные значения указанных параметров определяются по некоторой априорной информации об исходной матрице разностных уравнений (обычно требуются довольно точные оценки максимального и минимального собственных значений матрицы). Коэффициенты уравнений неразрывности, а значит, и собственные значения матрицы сильно меняются в ходе внешнего итереционного процесса и особенно значительно при изменении краевых условий (приложенных напряжений). Поэтому вычисление оптимальных значений итерационных параметров длч вышеназванных методов является очень сложной задачей и они редко применяются для решения уравнений неразрывности.
В настоящее время обычно используются различные варианты метода неполной факторизации Н.И.Булеева, релаксационный метод Р.П.Федоренко [6] и метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами.
Метод неполной факторизации Н.И.Булеева (МНФБ), как показывают численные эксперименты, имеет достаточно высокую скорость сходимости в случае сильно меняющихся коэффициентов разностных уравнений. Точной теории выбора итерационного параметра в этом методе нет. Параметр выбирается на основе численных экспериментов, что является недостатком метода. Следует отметить, что неудачный выбор параметра (слишком большое значение) может првести к расходимости итерационного процесса.
Метод неполного разложения Холецкого с сопряжёнными градиентами (ICCG) [5] разработан для систем уравнений с симметричной положительно определённой матрицей.Данный метод вариационного типа не требует задания априорной информации для определения итерационных параметров,что является большим достинством метода.
Релаксационный метод Р.П.Федоренко (РМФ) обладает высокой скоростью сходимости,не зависящей от числа узлов сетки,и не требует задания специальных итерационных параметров.Высокая эффективность этого метода связана с использованием вспомогательных сеток,содержащих значительно меньшее количество узлов,чем исходная сетка.Выбор вспомогательных сеток осуществляется на основе качественной информации о характере решения.Автоматизировать ироцедуру построения вспомогательных сеток весьма сложно,что создаёт определённые трудности при использовании этого метода для расчёта сложных структур.
Приведём расчётные алгоритмы РМФ.
Рассмотрим систему разностных эллиптических уравнений
(Au)k=-akuk-1-bkuk+1-ckuk-md-dkuk+m+qkuk=fk
РМФ основан на использовании нескольких вспомогательных сеток (в современной практике одной или двух), содержащих значительно меньшее число узлов, чем исходная основная сетка, для ускорения сходимости. Вначале на основной сетке делается s строчных зейделевских итераций (этот алгоритм будет описан ниже) и в узлах первой
вспомагательной сетки вычисляется невязка:
rk1=(Aus)k-fk .
затем на первой вспомогательной сетке рассматривается система уравнений
(A1u)k=rk (3.33)
с однородными граничными условиями.A1-разностный оператор, аппроксимирующий исходный дифференциальный оператор на первой вспомагательной сетке. Для (3.33) начиная с u=0 делается s1 строчных зейделевских итераций и в узлах второй вспомогательной сетки вычисляется невязка:
rk2=(Aus1)k-rk1 (3.34)
После этого на второй вспомогательной сетке рассматривается задача
(A2v)k=rk2 (3.35)
с однородными граничными условиями. A2- разностный оператор, аппроксимирующий исходный дифференциальный оператор на второй вспомагательной сетке. Для (3.35) начиная с v=0 делается s2 строчных зейделевских итераций,после чего получаем сеточную функцию v s2 .Эта функция линейно интерполируется на первую вспомогательную сетку,в узлах которой исправляется u*= us1-v ints2.Затем для (3.34) начиная с u* делается s3 строчных зейделевских итераций.В результате получаем сеточную функцию us3,которая линейно интерполируется на основную сетку,в узлах которой исправляется u*= us-u ints3.Выбрав u* в качестве начального приближения,вновь делаем s зейделевских итераций на основной сетке.Описанная процедура является одним циклом РМФ.Итерации заканчиваются, если относительная погрешность приближений,полученных после двух последовательных циклов, не превосходит некой наперёдзпданной величины.
Определение неизвестных на t+1 итерации в строчном методе Зейделя состоит в решении при каждом j=1,2,3,… системы уравнений с трёхдиоганальной матрицей:
akuk-1t+1-qkukt+1+bkuk+1t+1=-Fk , (3.36)
Fk=fk+ckuk-mt+1+dkuk+mt
Данная система уравнений решается методом прогонки.После того как определены все uk-mt+1,пологаем t=t+1 и переходим к определению следующего приближения, т.е. заново при каждом j=1,2,3… решаем систему уравнений (3.36).
Сравнение итерационных методов решения эллиптических задач проводят на модельных задачах. Анализ результатов показывает, что эффективность РМФ,ICCG, и МНФБ практически одинаковая, но при увеличении размерности сетки пространственной дискретизации (68*48) РМФ приобретает некоторое преимущество.При этом наибольшая погрешность результатов для для всех трёх методов не превосходит 2% [1].
IV.Заключение.
На ранних стадиях развития полупроводниковой электроники многомерный анализ приборов был невозможен, так как система уравнений, описывающая перенос носителей в этом случае не решалась в аналитическом виде. Развитие вычислительной техники в последние годы сделало возможным появление двух и трёхмерных моделей.
В настоящее время методы численного решения уравнений переноса достаточно хорошо разработаны и являются эффективным инструментом для моделирования и анализа полупроводниковых приборов. Многомерные численные модели могут применятся на стадии разработки приборов, оптимизации их структур, выбора полупроводникового материала и параметров технологического процесса. Двумерный и трехмерный численный анализ позволяет также получить более полные сведения о работе приборов, определить границы применимости простых аналитических моделей, выявить и исследовать некоторые новые эффекты.
Многомерные модели широко применяются при анализе короткоканальных эффектов, имеющих место в приборах с микронными размерами рабочих областей.Успехи современной микроэлектроники в миниатюризации полупроводниковых приборов делают такое моделирование особенно актуальным. Другое перспективное направление в этой области –моделирование мощных полевых транзисторов.
Данная работа позволила ознакомиться с принципами численного анализа МДП-структур и конкретными методами двумерного моделирования. В дальнейшем я планирую продолжить работу по этой теме, конкретно, в области моделирования короткоканальных приборов.
Литература.
1. Польский Б.С. Численное моделирование полупроводниковых приборов.
Рига: Зинатне, 1986,-168 с.
2. Мулярчик С.Г. Численное моделирование микроэлектронных структур.
Минск. Университетское, 1989,-368 с.
3. Афонцев С.А.,Григорьев Н.И.,Кунилов В.А.,Петров Г.В Использование двумерных численных моделей для анализа и моделирования полупроводниковых приборов. Зарубежная радиоэлектроника,1975,
N08,с.67-87.
4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977,- 456 с.
5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978. – 592 с.
6. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений. Журн.вычисл.мат. и мат.физики, 1961, т. 1, N05, с. 922-927.