Логарифмические уравнения.
Простейшее логарифмическое уравнение 
.
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке (0; 
) и принимает на этом промежутке все действительные значения.
По теореме о корне отсюда следует, что для любого b данное уравнение имеет, и причем только одно, решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что 
является таким решением, то есть х = .
х = .
Пример1: Решить уравнение 
= 3.
По определению логарифма: 
= 23
= 8
= 0
Решаем квадратное уравнение: D= 42 – 4· 1 · (–5) =36
х1 = 
= 
= – 5 и х2 = 
= 
= 1.
Следовательно, числа 1 и –5 являются решениями данного уравнения.
Ответ: –5; 1.
Пример2: Решить уравнение 
Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства (под знаком логарифма может стоять только положительное число):
ОДЗ: 
Значит, х ꞓ (−2; +∞).
Для этих х уравнение 
равносильно уравнению
3х + 7 = х + 2
3х – х = 2 – 7
2х = –5
х = –2,5.
Число х = –2,5 не удовлетворяет ОДЗ (области допустимых значений х ꞓ (−2; +∞)). Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: Ø.
Пример3: Решить уравнение 
Сделаем замену переменной у = 
. Поэтому данное уравнение принимает вид:
у2 – у – 6 = 0.
Решаем квадратное уравнение: D = (−1)2 – 4· 1 · (–6) = 25
у1 = 
= 
= – 2 и у2 = 
= 
= 3.
Получаем уравнения = –2 = 3
х = 2-2 х = 23
х = 
х = 8.
Ответ: 
; 8.
Пример 4: Решить уравнение: 
+ 
= 3.
Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства (под знаком логарифма могут стоять только положительные числа):
ОДЗ: 
Значит, ОДЗ = (7; +∞).
Решаем непосредственно уравнение + = 3.
По свойству логарифмов loga(b·c) = logab + logac:
= 3.
По определению логарифмов:
х(х – 7) = 23
Раскрываем скобки:
х2 − 7х = 8.
Переносим число 8 влево, поменяв знак, и решаем квадратное уравнение:
х2 − 7х − 8 = 0
D= (−7)2 – 4· 1 · (–8) = 81
х1 = 
= 
= – 1 и х2 = 
= 
= 8.
Число х = –1 не удовлетворяет ОДЗ (области допустимых значений х ꞓ (7; +∞)).
Следовательно, х = −1 – посторонний корень.
Число х = 8 удовлетворяет ОДЗ (области допустимых значений х ꞓ (7; +∞)).
Следовательно, х = 8 – корень уравнения.
Ответ: х = 8.
Логарифмические неравенства
1. Решение простейших логарифмических неравенств основано на известном свойстве функции
y = 
: эта функция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Пример 1: Решить неравенство 
Представим число 7 в виде логарифма: 
= 
.
Поэтому данное неравенство можно переписать в виде 
Логарифмическая функция с основанием 2 определена и возрастает на множестве действительных положительных чисел, так как 2 
1.
Убираем знаки логарифмов и знак неравенства не меняем 
128.
Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше 0, а у нас уже больше 128. Значит все х будут удовлетворять ОДЗ.
Решаем неравенство:
128
128 + 3
131
131: 8
16,375
Ответ: х 
(16,375; +∞).
Пример 2: Решить неравенство 
Представим число 3 в виде логарифма: 
= 
. Поэтому данное неравенство можно переписать в виде 
Логарифмическая функция с основанием 4 определена и возрастает на множестве действительных положительных чисел, так как 4 1. Убираем знаки логарифмов и знак неравенства не меняем 5х + 7 
64.
Так как выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше 0, добавляем второе неравенство 5х + 7 0.
Получаем систему неравенств: 
Ответ: х (– 
; 11,4).
Пример3: Решить неравенство 
Представим число –2 в виде логарифма: 
. Поэтому данное неравенство можно переписать в виде 
Логарифмическая функция с основанием 
определена и убывает на множестве действительных положительных чисел, так как 0 ˂ 
Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие числа х, (1. убираем знаки логарифмов, а знак неравенства меняется на противоположный, 2. выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше 0), для которых выполнено условие:
Ответ: х (– 
; 2,5).
Задание:
1. Решите уравнения:
1. 
= 3
2. 
= −4
3. 
4. 
5. 
= −3
2. Решить неравенства:
1) 
< 3
2) 
> −1
3) 
< 
4) 
≥ 