Дифференциальное исчисление

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
К графику функции в его точке с абсциссой проведена касательная. Тогда площадь треугольника, образованного касательной и отрезками, отсекаемыми ею на осях координат, равна …

Решение:
Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид . Вычислим последовательно
, и .
Тогда уравнение касательной примет вид
.
Эта прямая пересекает оси координат в точках и , то есть отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны 2 и 4. Следовательно, площадь соответствующего прямоугольного треугольника равна: .

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям и , имеют вид …

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка
			уравнением Бернулли

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде . Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде . Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
В уравнении функция является однородной относительно и функцией нулевого порядка.
Действительно, .
Поэтому данное уравнение является однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка.

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде .
Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при , то есть при . Откуда .

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Максимум функции равен …

Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение , а именно . Тогда .
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:
.
Так как , то будет точкой максимума. Следовательно, .

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Второй отличный от нуля член разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , будет равен …

Решение:
Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будем искать в виде ряда Маклорена:
Из исходного уравнения находим, что . Продифференцировав исходное уравнение, получим: .
Тогда .
Продифференцировав уравнение еще раз, получим .
Следовательно, .
Поэтому с учетом начальных условий имеем:

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка
			уравнением Бернулли

Решение:
Данное уравнение можно представить в виде . Откуда .
Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .
Подставим в исходное уравнение и найдем значения : .
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток возрастания функции имеет вид …

Решение:
Применим достаточное условие возрастания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке , то функция в этом промежутке возрастает. Поэтому вычислим производную первого порядка и решим неравенство . Предварительно найдем корни уравнения , а именно . Тогда .
Следовательно, при .

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид …

Решение:
Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид . Вычислим последовательно
, и . Тогда уравнение касательной примет вид
, или .

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будет выглядеть как …

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид .
Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если подкасательная в любой точке кривой равна удвоенной абсциссе точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,

			,

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Коэффициент при в разложении в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям и , будет равен …

			– 1
			– 2

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			уравнением Бернулли
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка

Решение:
Уравнение можно представить в виде , где .
Действительно, . Поэтому данное уравнение является уравнением Бернулли.

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

			,
			,

			,

Решение:
Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция – общее решение однородного уравнения , а функция – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения.
Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Наименьшее значение функции на отрезке равно …

Решение:
Вычислим производную первого порядка и решим уравнение , а именно . Тогда , . Так как , то вычислим
, , .
Тогда наименьшее значение данной функции равно .

			– 1
			– 2

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток возрастания функции имеет вид …

Решение:
Разделим переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . Тогда . Откуда .

Тема: Типы дифференциальных уравнений
Уравнение является …

			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Решение:
Уравнение может быть сведено к уравнению вида . Действительно, , поэтому данное уравнение является дифференциальным линейным уравнением первого порядка.

Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Промежуток убывания функции имеет вид …

Решение:
Применим достаточное условие убывания функции, которое можно сформулировать следующим образом: если в некотором промежутке , то функция в этом промежутке убывает. Поэтому вычислим производную первого порядка и решим неравенство . Предварительно найдем корни уравнения , а именно . Тогда .
Следовательно, при .

Тема: Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Два первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям и , имеют вид …

Поделиться:

Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Поиск по сайту:

Читайте также:

Деталирование сборочного чертежа

Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей?

Собственные движения и пространственные скорости звезд

Тема 11. Банковские риски и способы их оценки

Опросник «Активность повседневной жизни»

Интересно:

Как защитить исследовательскую работу (проект)

Зачем нужна стратификация

Роль грибов в заболеваниях растений

Что такое нейролингвистика?

Обратная связь