Проверка гипотез о равенстве дисперсий - раздел Образование, Методы проверки гипотез о законах распределения и параметрах законов распределения Проверка Гипотез О Равенстве Дисперсий – Одна Из Важнейших Задач Статистическ...
Проверка гипотез о равенстве дисперсий – одна из важнейших задач статистической обработки экспериментальных данных. На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить погрешности показаний приборов, точность методов измерений и т.д.
Сформулируем задачу проверки гипотезы о равенстве дисперсий. Пусть имеются две случайные величины 
и 
, каждая из которых подчиняется нормальному закону распределения с дисперсиями 
и 
. По независимым выборкам x 1, x 2,…, xn и y 1, y 2,…, ym найдены оценки дисперсий:
, (7.2.8)
где 
, 
- хи- квадрат распределения с n – 1 и m – 1 степенями свободы соответственно.
Обычно полученные оценки различны, в связи с чем возникает вопрос, можно ли на основе обработки экспериментальных данных полагать, что = (нулевая гипотеза).
Если нулевая гипотеза справедлива, то это означает, что выборочные дисперсии (7.2.8) представляют собой оценки одной и той же характеристики рассеивания генеральной совокупности и их различие определяется случайными причинами. В противном случае различие оценок существенно и является следствием того, что дисперсии генеральных совокупностей различны.
В качестве показателя согласованности гипотезы о равенстве дисперсий примем отношение большей оценки дисперсии к меньшей. Для определённости будет полагать > , тогда
. (7.2.9)
Учитывая оценки (7.2.8) при условии, что нулевая гипотеза справедлива, на основе отношения (7.2.9) получаем следующее выражение показателя согласованности:
.
Таким образом, показатель согласованности представляет собой случайную величину, подчинённую закону распределения Фишера со степенями свободы f 1 = n – 1 и f 2 = m – 1. Как известно, распределение Фишера зависит только от значений степеней свободы и уровня значимости, а от других параметров не зависит.
Критическая область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы строится по-разному. Как и ранее, рассмотрим три вида конкурирующей гипотезы:
¹ ; > ; < .
Построение критических областей для каждого из этих видов осуществляется следующим образом.
1. H 0: = ; H 1: ¹ .
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из того, чтобы вероятность попадания в неё показателя согласованности в предположении о справедливости нулевой гипотезы была равна уровню значимости a. При этом достигается наибольшая мощность критерия проверки, когда вероятности попадания показателя согласованности в каждый из двух интервалов критической области будут одинаковы и равны a/2. Таким образом, при построении критической области должны выполняться следующие условия (рис.7.4):
Правая критическая точка u a2 может быть найдена непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера (приложение 5). При этом входами в таблицу будут величины a/2, f 1 = n – 1, f 2 = m – 1. В результате имеем
.
Рис.7.4. Двусторонняя критическая область
Однако левых критических точек данная таблица не содержит и найти непосредственно u a1 невозможно. В связи с этим для нахождения левой критической границы u a1 необходимо использовать следующий приём.
Рассмотрим события
F(n –1; m –1) < Fa1 и 
.
Так как эти события эквивалентны, то их вероятности равны:
.
Как известно [1], случайная величина 
также подчиняется закону распределению Фишера со степенями свободы f 1 = m –1, f 2 = n – 1. Поэтому значение 1/Fa1 может быть найдено как верхний 100(a/2)-процентный предел этого закона распределения:
.
Таким образом, для определения 1/Fa1 необходимо войти в таблицу критических точек распределения Фишера с аргументами a/2, f 1 = m –1, f 2 = n – 1. Значение левой критической границы определяется как величина, обратная значению, найденному по таблице.
Учитывая изложенное выше, правило проверки гипотезы о равенстве дисперсий можно сформулировать в следующем виде.
а). Назначается уровень значимости a и по таблице критических точек распределения Фишера находятся критические границы u a1 и u a2. При нахождении критической границы u a2 в таблицу следует входить с аргументами a/2, f 1 = n – 1, f 2 = m – 1, а при определении критической границы u a1 – с аргументами a/2, f 1 = m – 1, f 2 = n –1. В последнем случае табличное значение 
используется для определения критической границы u a1 из выражения
. (7.2.10)
б). Вычисляется значение показателя согласованности
. (7.2.11)
в). Проверяется неравенство
u a1 < u < u a2.
Если оно выполняется, то наблюдаемое значение показателя согласованности попадает в область допустимых значений. В этом случае делается вывод об отсутствии существенного различия между сравниваемыми дисперсиями и гипотеза H 0 принимается. Если u < u a1 или u > u a2, то нулевая гипотеза отвергается.
П р и м е р 7.5. При исследовании стабилизатора напряжения проведено семь испытаний и получена оценка дисперсии выходного напряжения, равная 0,06 B 2. После доработки стабилизатора проведено ещё 13 испытаний, в результате чего оценка дисперсии выходного напряжения стала равна 0,10 B 2. Есть ли основание полагать, что в результате доработки точность стабилизатора не изменилась?
▼ Обозначим 
= 0,10 В 2, 
= 0,06 В 2. Тогда n = 13, m = 7. Задаёмся уровнем значимости a = 0,10 и в приложении 5 находим u a2 для a/2 = 0,05, f 1 = n – 1 = 12, f 2 = m – 1 = 6. Также находим u a1 для a/2 = 0,05, f 1 = m – 1 = 6, f 2 = n – 1 = 12. Получаем u a2 = 4, F(0,05;6;12) = 3 и, следовательно, u a1 = 0,33.
Значение показателя согласованности по формуле (7.2.11):
.
Так как u a1 < u < u a2, то гипотеза H 0 о том, что доработка не повлияла на точность стабилизатора напряжения, принимается. ▲
2. H 0: = ; H 1: > .
В этом случае строят правостороннюю критическую область таким образом, чтобы вероятность попадания в эту область показателя согласованности в предположении о справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:
.
Критическую точку 
находят по таблице критических точек распределения Фишера, используя в качестве аргументов a, f 1 = n – 1, f 2 = m – 1. Наблюдаемое значение показателя согласованности определяется по формуле (7.2.11). Если u < u a, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, в противном случае она отвергается.
3. H 0: = ; H 1: < .
В данном случае строят левостороннюю критическую область таким образом, чтобы
.
Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера на основе отношения
. (7.2.12)
В знаменателе (7.2.12) – табличное значение, найденное при аргументах a, f 1 = m – 1, f 2 = n – 1.
Наблюдаемое значение показателя согласованности определяется по формуле (7.2.11). Если u > u a, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае она должна быть отвергнута.
В заключение следует отметить, что показатель согласованности гипотезы (7.2.9) можно использовать для сравнения дисперсий и в том случае, когда для одной из дисперсий найдена не оценка, а её точное значение. В этом случае число степеней свободы закона распределения Фишера в числителе или знаменателе выражения (7.2.9) следует устремить к бесконечности, в остальном методика проверки гипотезы остаётся прежней.
П р и м е р 7.6. Из партии снарядов с известной характеристикой рассеивания по дальности 
испытываются 10 снарядов, хранившихся без специальной тары. Есть ли основание полагать, что по причине такого хранения рассеивание снарядов по дальности возросло, если в результате испытаний получена оценка 
?
▼ В данном примере кривая распределения характеристики 
при конкурирующей гипотезе смещена влево, поэтому в качестве критической выбираем левостороннюю область.
Пусть a = 0,05, тогда для определения u a входим в таблицу приложения 5 со значениями a = 0,05, f 1 = m – 1 = 9, f 2 = ¥. Получим F(0,05;9;∞) = 1,88, следовательно,
.
Вычисляем значение показателя согласованности
.
Так как u > u a и значение показателя согласованности попало в область допустимых значений, то нет оснований утверждать, что в результате хранения без специальной тары рассеивание снарядов по дальности возросло.