Тогда
И вообще 
.
Подставим выражения для 
в соотношение (2.39), перенесем в левую часть 
, разделим обе части уравнения на 
и перейдем к пределу при 
В результате получим
Аналогично можно вывести остальные уравнения:
| (2.40) |
Это и есть система уравнений Колмогорова. Добавим к ней условие нормировки
и решая эту систему дифференциальных уравнений с учетом начальных условий 
найдем функции 
для 
.
Обычно уравнения Колмогорова не выводят рассмотренным выше способом, а записывают формально, исходя из структуры графа переходов марковской системы. Вершины графа соответствуют состояниям системы, стрелки показывают направления переходов, веса над стрелками соответствуют интенсивностям переходов 
, выражаемым соотношениями (2.28).
Для составления уравнений Колмогорова на основе графа переходов используют такое формальное правило. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а в правой части находится столько слагаемых, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, то соответствующий член имеет знак минус, если в состояние, то знак плюс. Каждый член равен интенсивности перехода, отвечающей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.
Граф переходов для рассматриваемой системы изображен на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Граф переходов
Нетрудно видеть, что уравнения, составленные по графу в соответствии с приведенным правилом, совпадают с уравнениями, выведенными строго, т.е. (2.40).
Подумайте, почему граф переходов в этой модели имеет такой вид. Почему, например, нет стрелки от состояния 2 в состояние 0 и наоборот.
Для получения выходных параметров систем обслуживания часто бывает достаточно вычислить значения стационарных вероятностей 
.
Вероятность 
равна средней доле времени, проведенного системой в состоянии 
.
Для нахождения системы уравнений относительно компонент стационарного распределения в системе уравнений (2.40) надо положить левые части равными нулю. В результате имеем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
| (2.41) |
Эта система может быть получена и непосредственно из графа по правилу «что входит, то и выходит» (принцип сохранения потока). Решение системы (2.41) с учетом уравнения нормировки
легко получить в явном виде последовательным выражением вероятностей 
для 
через 
и подстановкой их в уравнение нормировки.
Попробуем. Вернемся к графу и уравнениям
В результате получим
где  λ/μ («загрузка» системы).
| (2.42) |
Теперь можно найти среднее число запросов в системе 
и среднюю производительность системы 
:
| (2.43) (2.44) |
Для нахождения математического ожидания (среднего значения) времени реакции 
воспользуемся соотношением
| (2.45) |
В основу (2.45) положено такое соображение: в замкнутой системе обслуживания число запросов в отдельных частях системы пропорционально времени, которое проводят в этих частях запросы. Из (2.45) получаем:
| (2.46) |
Итак по шагам (Построение и расчет выходных параметров марковских моделей – сначала класса ПРГ).
Рисуете схему обработки: Источники заявок или терминалы. очередь, ОА. Записываете исх. данные.