Лекция 4. Приложения дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления лежат в основе исследования функций с помощью производных.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения внутри отрезка в некоторой точке х=c, то производная в этой точке равна нулю: f^/(c) = 0.

у у^/= 0 О a c b х

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) внутри отрезка в точке х=c имеет наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, т.к. угловой коэффициент касательной, который определяется значением производной в этой точке равен нулю: к_к=f ^/(c)=0.

у у^/= 0 f(a)=f(b) О a с b х

Теорема Ролля. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка [а,b]существует точка х=с, в которой производная равна нулю: f^/(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), принимающей на концах этого отрезка равные значения f(a)=f(b), существует такая точка х=с внутри отрезка, в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох.

у В А О a с b х

Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [а,b], то внутри этого отрезка существует такая точка х=с, в которой производная равна

f^/(c) = .

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), существует такая точка х=с внутри отрезка [а,b], в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна секущей, соединяющей график на концах отрезка.

Функция f(x) называется монотонной на интервале, если она на нем или только возрастает, или только убывает.

у у^./=0 возр. убыв. у¢>0 у¢<0 0 х₀ х

Если функция монотонно возрастает на интервале, то большему значению аргумента х₂>x₁, соответствует большее значение функции: f(x₂)>f(x₁).

Если функция монотонно убывает на интервале, то большему значению аргумента х₂>x₁, соответствует меньшее значение функции: f(x₂)<f(x₁).

На рисунке на интервале функция монотонно возрастает, а на интервале монотонно убывает.

Введем обозначения Dх = х₂ - х₁ - приращение аргумента и приращение функции: у = f(x₂) - f(x₁). Для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеют одинаковые знаки, а следовательно, отношение >0. Для убывающей функции приращения аргумента и функции имеют противоположные знаки, а следовательно, отношение < 0. Так как первая производная функции равна , то по знаку производной можно определять участки возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Если функция у=f(x) дифференцируема на интервале и ее производная положительна у¢>0, то функция на этом интервале монотонно возрастает, а если производная отрицательна у¢<0, то функция на интервале монотонно убывает.

Отметим, что если в точках первая производная равна нулю или не существует, то в этих точках функция не возрастает и не убывает. Здесь возможны:

- точки перегиба, в которых выпуклость графика функции сменяется вогнутостью или наоборот;

- точки локального экстремума, в которых участок возрастания функции сменяется участком убывания или наоборот.

Точки, в которых первая производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками I рода.

у у¢= 0 у¢>0 у¢<0 у¢>0 у¢<0 "+" "-" "+" "-" у¢= 0 0 х_1к х_2к х_3к х

Точка х₀ называется точкой локального максимума (или минимума) функции, если в некоторой окрестности точки х₀ функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, т.е. для всех х из некоторой окрестности точки х₀ выполняется условие f(x) f(x₀) (или f(x) f(x₀)).

Точки локального максимума или минимума объединены общим названием - точками локального экстремума функции.

Отметим, что в точках локального экстремума функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения лишь в некоторой локальной области. Возможны случаи, когда по значению у_max у_min.

Теорема 2. Если непрерывная функция у = f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум, то в этой точке первая производная либо равна нулю, либо не существует, т.е. локальный экстремум имеет место в критических точках I рода.

В точках локального экстремума либо касательная параллельна оси 0х, либо имеются две касательные (см. рис.). Отметим, что критические точки являются необходимым, но недостаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум имеет место только в критических точках I рода, но не во всех критических точках имеет место локальный экстремум.

Например: кубическая парабола у = х³, имеет критическую точка х₀=0, в которой производная у^/(0)=0, но критическая точка х₀=0 не является точкой экстремума, а в ней имеет место точка перегиба (см. ниже).

Теорема 3. Если при переходе аргумента через критическую точку I рода слева направо первая производная у^/(x)

1) меняет знак с “+” на “-”, то непрерывная функция у(х) в этой критической точке имеет локальный максимум;

2) меняет знак с “-” на “+”, то непрерывная функция у(х) имеет в этой критической точке локальный минимум

3) не меняет знак, то в этой критической точке нет локального экстремума, здесь имеет место точка перегиба.

Для локального максимума область возрастания функции (у^/ 0) сменяется на область убывания функции (у^/ 0). Для локального минимума область убывания функции (у^/ 0) сменяется на область возрастания функции (у^/ 0).

у у=х³ О х

График дифференцируемой на интервале (a;b) функции называется выпуклым (или вогнутым), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Так график кубической параболы у=х³ на интервале выпуклый и лежит ниже своих касательных, а на интервале вогнутый и лежит выше своих касательных.

Отметим, что выпуклость и вогнутость графика функции можно определять по знаку её второй производной. Для кубической параболы у=х³ график на интервале выпуклый, а вторая производная на этом интервале отрицательна у^//=(3x²)^/=6x<0(при x<0). На интервале её график вогнутый, а вторая производная на этом интервале положительна у^//=6x>0(при x>0). Это связано с тем, что вторая производная определяет поведение первой производной. Для выпуклого участка угловой коэффициент касательной, который определяется первой производной, убывает, а следовательно вторая производная отрицательна, а для вогнутого участка наоборот угловой коэффициент касательной возрастает, а следовательно вторая производная положительная.

Теорема 4. Если на интервале (а;b) вторая производная непрерывной функции положительна у^//>0, то график функции вогнутый, а если вторая производная отрицательна у^//<0, то график функции выпуклый.

Точка, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. Если непрерывная функция y=f(x) имеет точку перегиба х_п, то в этой точке вторая производная равна нулю (у^//=0) или не существует.

Точки, в которых вторая производная равна нулю (у^//=0) или не существует называются критическими точками второго рода.

Согласно теоремы точки перегиба бывают только в критических точках второго рода, но не во всех в критических точках второго рода имеют место точки перегиба.

Теорема 6. Если при переходе аргументом через критическую точку второго рода х_п вторая производная меняет знак, то эта критическая точка является точкой перегиба.

Так кубическая парабола у=х³ имеет точку перегиба х_п=0, в которой её вторая производная у^//=6х_п=0 и при переходе через эту точку вторая производная меняет знак с «-» на «+».

При исследовании поведения функций на бесконечности при х®∞ или вблизи точек бесконечного разрыва второго рода, когда у®∞ часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой.

Прямые к которым неограниченно близко приближаются графики функций называются асимптотами.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты имеют место в точках бесконечного разрыва второго рода, когда пределы в этих точках равны бесконечности.

Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции у=f(x), если стремится к бесконечности хотя бы один из пределов: правый или левый .

у О х=1 х

Вертикальные асимптоты имеют место, когда функция неопределена в точке при делении на ноль.

Пример. Функция неопределена при

х-1=0 или х=1. В этой точке функция терпит бесконечный разрыв второго рода, т.к. -левый предел; -правый предел. Прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

Здесь же отметим, что на бесконечности при х®±∞ эта функция стремится к нулю: у=f(x) ® 0, т.к. =0. Горизонтальная прямая у=0, к которой стремится функция на бесконечности называется горизонтальной асимптотой.

Прямая у=b называется горизонтальной асимптотой графика функции у=f(x) при х®±∞, если равен числу b любой из пределов: .

Отметим, что эти пределы могут быть разными , а следовательно имеют место две горизонтальные асимптоты y=b₁и y=b₂.

Существуют также наклонные асимтоты.

Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х ®±∞, если равен нулю любой из пределов .

Теорема 7. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали по два конечных предела .

С помощью этих пределов определяются параметры (k и b) наклонных асимптот. Причем пределы при х® - ∞ и при х® + ∞ вычисляются раздельно, т.к. возможны две разные наклонные асимптоты у=k₁x+b₁ и y= k₂x+b₂.

Отметим, что горизонтальная асимптота у=b является частным случаем наклонной асимптоты, когда .

Приведем план полного исследования функции с помощью производной:

1. Найти область определения функции;

2. Найти точки пересечения графика с осями координат, нули функции и интервалы знакопостоянства; четность, нечетность;

3. Найти асимптоты графика функции; исследовать поведение функции в точках разрыва;

4. Найти критические точки и исследовать функцию на монотонность;

5. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости.

Примеры: 1) Построить график функции .

1. Область определения функции – вся числовая ось, то есть .

2. Точки пересечения графика с координатными осями будут: с осью Oy –

(0;-2); с осью Ox:y=0, тогда ,

при х=-1, х -2,7, х 0,7.

3. График функции асимптот не имеет, так как .

4. Найдем критические точки:

Производная равна нулю при х=0 и х=-2. Результаты исследования функции на монотонность сведем в таблицу

x		-2	(-2; 0)
	+		–		+
y				-2

Таким образом, – точка максимума, , точка х=0 – точка минимума, .

5. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Найдем : . при х = –1. Результаты исследования отразим в таблице

x		-1
	–		+
y		0 т.п.

Точка с абсциссой х =–1 – точка перегиба. График на рисунке 1.

2) Построить график функции .

1. Знаменатель дроби обращается в ноль при , поэтому область определения будет иметь вид .

2. Так как y=0 при x=0, то график функции проходит через начало координат. Функция принимает положительные значения в интервалах и , и отрицательные значения в интервалах и .

Функция является нечетной, так как . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Рис. 1 Рис.2

3. Так как и , то прямые x=1, x=-1 являются вертикальными асимптотами.

Выясним наличие наклонных асимптот: . Тогда . Следовательно, прямая y=0 ( ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания. . Так как, при любом х из области определения функции, то функция не имеет экстремумов и монотонно возрастает в каждом из интервалов .

5. Найдем интервалы выпуклости и точку перегиба.

. Вторая производная равна нулю при х=0.

x		-1	(-1;0)	(0; 1)
у"	+	Не сущ	–	+	Не сущ.	–
y		Не сущ			Не сущ.