План
Чтения лекции по учебной дисциплине
«Математические методы»
Раздел № 2. Линейное программирование.
Тема № 2.1. Виды задач линейного программирования.
Занятие №
Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели.
Время
Место проведения: аудитория.
Учебные вопросы: Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации: задача о пищевом рационе, задача о планировании производства, задача о загрузке оборудования, задача о снабжении сырьем.
Литература:
1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.
2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001
Учебные вопросы и расчет времени
| №п/п | Учебные вопросы | Время, мин | Методические указания |
| 1. 2. 3. | Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации. |
1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования.
2. Основная часть.
Задача линейного программирования (ЗЛП).
Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем.
Задача линейного программирования – это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы.
Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения на решения – линейные равенства или неравенства.
Трудности решения ЗЛП.
Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений.
Классификация задач оптимизации.
Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1, П2, П3, П4; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1, С2, С3, С4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков – не менее b i единиц; углеводов – не менее b 2 единиц; жиров – не менее b 3 единиц. Для продуктов П1, П2, П3, П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где a ij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) – какие – то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, углеводы, жиры).
| продукт | элементы | ||
| белки | углеводы | жиры | |
| П1 П2 П3 П4 | A11 A21 A31 A41 | A12 A22 A32 A42 | A13 A23 A33 A43 |
Требуется составить такой пищевой рацион (т.е. назначить количества продуктов П1, П2, П3, П4, входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и при этом стоимость рациона была минимальна.
МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ. Обозначим x 1, x 2, x 3, x 4 количества продуктов П1, П2, П3, П4, входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, - стоимость рациона (обозначим её L): она линейно зависит от элементов решения x 1, x 2, x 3, x 4.
Целевая функция: 
Система ограничений:
a 11 x 1+ a 21 x 2+ a 31 x 3+ a 41 x 4≥ b 1
a 12 x 1+ a 22 x 2+ a 32 x 3+ a 42 x 4≥ b 2
a 13 x 1+ a 23 x 2+ a 32 x 3+ a 43 x 4≥ b 3
Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения x 1, x 2, x 3, x 4.
Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных x1, x2, x3, x4, чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:
Задача о планировании производства.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U1, U2, U3. По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b 1 единиц изделия U1, не мене b 2 единиц изделия U2 и не мене b 3 единиц изделия U3. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно b 1, b 2, b 3 единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s 1, s 2, s 3, s 4, причём запасы ограничены числами g 1, g 2, g 3, g 4 единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим a ij количество единиц сырья вида s i (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия Uj (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа a ij – вид изделия, второй – вид сырья. Значения a ij сведены в таблицу (матрицу).
| Сырьё | Изделия | ||
| U1 | U2 | U3 | |
| S1 S2 S3 S4 | a11 a12 a13 a14 | a21 a22 a23 a24 | a31 a32 a33 a34 |
При реализации одно изделие U1 приносит предприятию прибыль c 1, U2 – прибыль c 2, U3 – прибыль c 3. Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x 1, x 2, x 3 – количества единиц изделий U1, U2, U3, которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений – неравенств: x 1³ b 1, x 2³ b 2, x 3³ b 3.
Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения – неравенства: x 1£ b 1, x 2£ b 2, x 3£ b 3.
Целевая функция: L= c 1 x 1+ c 2 x 2+ c 3 x 3→ max.
Система ограничений:
a 11 x 1+ a 21 x 2+ a 31 x 3£ ¡ 1.
a 12 x 1+ a 22 x 2+ a 32 x 3£ ¡ 2.
a 13 x 1+ a 23 x 2+ a 33 x 3£ ¡ 3.
a 14 x 1+ a 24 x 2+ a 34 x 3£ ¡ 4.