Задача № 5.
1.Содержание задачи:
На описанное в задаче № 4 течение наложить плоский вихрь интенсивностью I (см.рис. 5.1).
Построить эпюру гидродинамических давлений на поверхности цилиндра и график изменения скорости потока вдоль оси Oy.
Определить положение критических точек и найти действующую на цилиндр подъемную силу.
Рис. 5.1
2.Исходные данные и принятые положения:
Длина понтона, L, м 30
Диаметр понтона, D, м 6,5
Плотность воды, ρ, т/м3 1.025
Скорость набегающего потока жидкости 
, м/с 6
Интенсивность вихря, определяется выражением 
0.8
В задаче рассматривается круговой цилиндр с заданным радиусом r0, который помещен в поток, полученный сложением нескольких течений
Течения, составляющие поток:
-равномерный поток с заданной скоростью 
, направленный перпендикулярно оси понтона
-плоский вихрь с заданной интенсивностью I, ось которого совпадает с осью цилиндра.
В работе используем несколько систем координат: декартова и цилиндрическая.
В цилиндрической ось Z совпадает с осью понтона. Плоскость сравнения перпендикулярна оси, следовательно, она является поперечным сечением понтона в виде круга с радиусом r0 . Точка пересечения оси понтона и плоскости сравнения – это начало координат. Полярная ось ОX направлена по скорости набегающего потока. Угловая координата Ѳ отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.
В декартовой системе координат ось Z направлена по оси понтона, плоскости XOY совпадает с поперечным сечением понтона.
OX – направлена по набегающему потоку.
OY - перпендикулярно OX.
Определение давления и построение эпюры гидродинамических давлений на поверхности цилиндра.
При циркуляционном обтекании понтона гидродинамическое давление выражается через формулу:
= 
· 
(1)
плотность воды
- скорость потока жидкости на бесконечном удалении от понтона (учитывая условия задачи, 
)
– коэффициент давления.
=1-4 
2 
+(
)· 
- 
(2)
r0 - радиус понтона 
- угол между радиус – вектором, соединяющим рассматриваемую точку на поверхности понтона и начала системы координат и осью OX
I – интенсивность вихря
Подставляем уравнение (1) в (2), сократим и получим:
= 
(
) (3)
Относительно оси ОY распределение гидродинамического давления будет симметричным, из чего следует, что рассчитывать будем только для 1 и 4 квадранта:
Результаты расчетов (табл. 1)
По найденным данным построим эпюру гидродинамического давления по поверхности цилиндра (рис 5.2)
1мм = 5 кПа
4. Построение эпюры скоростей в точках оси ОY:
Скорость потока представляется в виде суммы радиальной (
и окружной (
скоростей:
(4)
(5)
(6)
В точках на оси ОY угол Ѳ=±90. Следовательно:
sin Ѳ = ±1
cos Ѳ = 0
Следовательно, выражение скорости в точках оси OY будет иметь следующий вид:
Таким образом, выражение для нахождения полной скорости приобретает следующий вид:
(7)
Учитывая то, что в точках оси OY Ѳ = ± 90o и sinѲ = ± 1, получаем следующее:
-При Ѳ = 90o скорость определяется по формуле:
(8)
-При Ѳ = -90o скорость определяется по формуле:
(9)
Результаты расчетов (табл. 2)
По найденным данным построим эпюру скоростей (рис 5.3)
Определение положений критических точек на поверхности цилиндра
Исходя из условий, что скорость 
и r=r0, определим положение критических точек.
Подставим эти условия в уравнение (6) и получим:
(10)
Выразим sinѲ и получим:
(11)
I – интенсивность вихря
Таким образом:
Откуда следует, что:
