Свойства преобразования Фурье

1) Линейность. Если , то ;

2) Задержка. Если , то ;

3) Изменение масштаба времени. Если , то . Отсюда следует важный вывод, что при уменьшении длительности сигнала () спектр сигнала расширяется, а амплитуды гармонических составляющих уменьшаются. И наоборот, если длительность сигнала увеличивается (), то спектр сигнала сужается и увеличиваются амплитуды гармонических составляющих;

4) Дифференцирование. Если , то . Мнимое число называют оператором дифференцирования в частотной области;

5) Интегрирование. Если , то . Мнимое число называют оператором интегрирования в частотной области;

6) Свертка. Если , то ;

7) Произведение. Если , то ;

Рассмотрим пример использования описанных выше свойств для вычисления спектральной плотности.

Пример. Найти спектральную плотность сигнала приведенного на рис. 5а.

Решение. Как следует из рисунка, данный сигнал описывается следующей функцией:

Рис. 5 Исходный сигнал (а) и его производная (б)

производная же этого сигнала (рис. 5б)

Найдем спектральную плотность производной сигнала :

Искомая спектральная плотность будет равна

Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция характеризует степень связи (корреляции) сигнала со своей копией сдвинутой на величину по оси времени и определяется по формуле

Свойства:

1) При временном сдвиге равном нулю () значение автокорреляционной функции равно энергии сигнала ;

2) Автокорреляционная функция четная, т. е. ;

3) При любом значении временного сдвига модуль автокорреляционной функции не превосходит энергии сигнала;

4) Между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром имеется связь:

Линейные цепи

Линейная цепь описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и :

Перейдя в частотную область, можем записать:

Передаточная функция представляет собой отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических сигналов заданной частоты :

При обобщении выражения для случая комплексной частоты получим операторный коэффициент передачи

Импульсная характеристика линейной системы – это отклик системы на единичный импульс , т. е. .

Переходная характеристика линейной системы – это отклик системы на единичный скачок , т. е. .

Между импульсной и переходной характеристикой системы, а также передаточной функцией есть взаимосвязи

, ,

, .

Из этих формул следует, что если передаточная функция записана в операторной форме, то ее оригиналом является импульсная характеристика.

Передаточную функцию можно представить в виде:

где – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), – фазово-частотная характеристика (ФЧХ).

Если линейная цепь состоит из нескольких звеньев с передаточными функциями , ,…, , то передаточная функция всей системы представляет собой произведение передаточных функций отдельных звеньев:

Для определения выходного сигнала при прохождении сигнала через линейную цепь используют несколько способов:

1) Метод интеграла наложения. Сигнал на выходе линейной цепи определяется через свертку входного сигнала и импульсной характеристики

;

2) Спектральный метод. По свойству преобразования Фурье о свертке сигналов, выходная спектральная плотность будет равна

используя обратное преобразование Фурье, получим

;

3) Операторный метод. При операторном методе вместо преобразования Фурье используют преобразование Лапласа

где

, , .

Для сложных функций можно перейти от интеграла к сумме вычетов, т. е.

где – сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.

Практическая часть.

Спектральный анализ

1) Вычислим спектральную плотность сигнала приведенного на рис. 6.

Рис. 6 Исходный сигнал

В теоретической части был рассмотрен пример симметричного треугольного импульса, его спектральная плотность , а длительность составляла . Сигнал состоит из двух таких масштабированных и смещенных треугольных импульсов. Найдем спектральную плотность треугольного симметричного импульса с длительностью :

Отсюда следует, что спектральная плотность будет равна:

Так как сигнал является нечетной функцией, то на нулевой частоте спектральная плотность равна нулю.

2) Найдем нули спектральной плотности :

так как при , а , при , где . Таким образом, переходя к частоте получим

, или

ширина главного лепестка .

Спектральная плотность левой половины сигнала (считаем, что правая половина сигнала равна нулю):

Спектральная плотность , будет содержать отличное от нуля значение на нулевой частоте. Чтобы вычислить это значение, перейдем к пределу

, т. е. площадь сигнала .

найдем нули спектральной плотности :

, т. е. при условии

, где и , переходя к частоте ,

, ,

ширина главного лепестка .

Рис. 7. Модули спектральной плотности и

Таким образом, ширина спектра половины сигнала в два раза больше ширины спектра , а амплитуда примерно в два раза меньше. Что подтверждается полученными формулами, также это видно графически на рис. 7.