ТЕМА 3. типовые звенья, их модели, временные и частотные характеристики

Классификация звеньев. Простейшие звенья: дифференциальные уравнения, передаточные функции, временные и частотные характеристики, примеры. Звенья первого порядка: дифференциальные уравнения, передаточные функции, временные и частотные характеристики, примеры. Звенья второго порядка: дифференциальные уравнения, передаточные функции, временные и частотные характеристики, примеры. Неминимально-фазовые устойчивые и неустойчивые звенья, передаточные функции, временные и частотные характеристики, примеры

Все элементы системы независимо от их конструктивного исполнения и назначения по своим динамическим свойствам можно подразделить на ограниченное число типовых динамических звеньев. Под типовым динамическим звеном понимают элемент системы направленного действия, описываемый в динамике дифференциальным или алгебраическим уравнением не выше второго порядка. Классифицируют звенья по виду уравнения динамики.

Все звенья можно разделить на два типа: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.

Звено является неминимально-фазовым, если его передаточная функция имеет положительные нули или полюса, у таких звеньев фазовая характеристика не соответствует дифференциальному уравнению. Для минимально-фазовых звеньев фазочастотная характеристика однозначно определяется амплитудно-частотной характеристикой.

Динамические звенья могут быть:

- устойчивыми – если после приложения и снятия воздействия его выходная переменная стремится к значению до момента приложения воздействия (т.е. возвращается в исходное состояние);

- нейтральными (астатическими), если при ступенчатом воздействии выходная переменная изменяется с постоянной скоростью (астатизм первого порядка) или постоянным ускорением (астатизм второго порядка), а после приложения и снятия воздействия приходит в новое устойчивое состояние;

- неустойчивые, если выходная переменная после приложения и снятия возмущения изменяется, не приходя к некоторому устойчивому состоянию.

По типу уравнений динамики минимально-фазовые звенья можно классифицировать следующим образом (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Передаточные функции основных типовых динамических звеньев

№	Передаточная функция	Название
		Усилитель (безынерционное звено)
		Идеальное интегрирующее звено
		Инерционное (апериодическое 1-го порядка) звено
		Реальное интегрирующее звено
		Изодромное звено
		Форсирующее звено
		Идеальное дифференцирующее звено
		Реальное дифференцирующее звено
		Инерционно-форсирующее звено
		при	Апериодичское звено 2-го порядка
при	Колебательное звено
при	Консервативное звено
		Звено запаздывания

Рассмотрим основные типовые звенья, их уравнения динамики, передаточные функции и характеристики.

Безынерционное звено

Выходной сигнал этого звена по форме повторяет входной сигнал. Уравнение динамики:

где K – коэффициент усиления.

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:


Рисунок 3.1 – Переходная характеристика безынерционного звена	Рисунок 3.2 – Импульсная переходная характеристика безынерционного звена

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой точку на вещественной оси, отстоящую на расстояние K от начала координат;

Рисунок 3.3 – АФЧХ безынерционного звена

е) .

Рисунок 3.4 – ЛАЧХ и ФЧХ безынерционного звена

Звено устойчивое.

Примеры безынерционного звена:

– делитель напряжения на двух резисторах R ₁ и R ₂ (рисунок 3.5 а):

;

– усилитель на операционном усилителе (рисунок 3.5 б):

;

– редуктор (рисунок 3.5 в). Входной сигнал – вращающий момент M (t), выходной – частота вращения ω (t):

где – угловые скорости вращения выходного и входного валов редуктора; – передаточное число редуктора.

Рисунок 3.5 – Примеры безынерционного звена

Идеальное интегрирующее звено

Выходной сигнал этого звена равен интегралу от входного, уравнение динамики имеет следующий вид:

где – постоянная интегрирования.

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:


Рисунок 3.6 – Переходная характеристика идеального интегрирующего звена	Рисунок 3.7 – Импульсная переходная характеристика идеального интегрирующего звена

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой отрицательный отрезок мнимой оси;

Рисунок 3.8 – АФЧХ идеального интегрирующего звена

е) .

Рисунок 3.9 – ЛАЧХ и ФЧХ идеального интегрирующего звена

Звено нейтральное.

Примеры идеального интегрирующего звена:

– идеальный конденсатор емкостью С (рисунок 3.10 а), если выходным сигналом является напряжение на конденсаторе U_C (t), а входным – ток заряда i (t):

;

– бассейн с наполняющей его трубой (рисунок 3.10 б) с площадью дна S. Входной сигнал – подача воды Q (t), выходной – уровень воды H (t):

;

– механическая часть электропривода (рисунок 3.10 в). Входной сигнал – вращающий момент M (t), выходной – угловая частота вращения ω (t):

где J – момент инерции вращающегося тела;

– интегратор на операционном усилителе (рисунок 3.10 г):

Рисунок 3.10 – Примеры идеального интегрирующего звена

Идеальное дифференцирующее звено

Выходной сигнал этого звена пропорционален скорости изменения входного сигнала. Уравнение динамики:

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:

– два импульса противоположной полярности.


Рисунок 3.11 – Переходная характеристика идеального дифференцирующего звена	Рисунок 3.12 – Импульсная переходная характеристика идеального дифференцирующего звена

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой положительный отрезок мнимой оси;

Рисунок 3.13 – АФЧХ идеального дифференцирующего звена

е) .

Рисунок 3.14 – ЛАЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена

Звено устойчивое.

Примеры идеального дифференцирующего звена:

– идеальная катушка индуктивности L (рисунок 3.15 а). Входной сигнал – ток через катушку i (t), выходной – на катушке U_L (t):

;

– дифференциатор на операционном усилителе (рисунок 3.15 б):

;

– вращающая часть электрической машины (рисунок 3.15 в). Входной сигнал – угол поворота α (t), выходной – угловая частота вращения ω (t):

Рисунок 3.15 – Примеры идеального дифференцирующего звена

Соединением безынерционных, идеальных дифференцирующих и интегрирующих звеньев можно получить все остальные звенья.

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.

Уравнение динамики:

где T – постоянная времени, характеризующая инерционные свойства звена.

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Рисунок 3.16 – Получение апериодического звена первого порядка

Апериодическое звено первого порядка можно получить, охватив безынерционной обратной связью идеальное интегрирующее звено (рисунок 3.16):

;

, .

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:


Рисунок 3.17 – Переходная характеристика апериодического звена первого порядка	Рисунок 3.18 – Импульсная переходная характеристика апериодического звена первого порядка

Установившееся значение переходной характеристики h(∞)=K.

Постоянную времени можно определить по графику h(t) (рисунок 3.8) используя свойство экспоненты – проекция под касательной на линию установившегося значения равна постоянной времени – или определяя время за которое h(t) достигает значение 0,63 h(∞).

Рисунок 3.19 – Определение постоянной времени по переходной характеристике

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.

Рисунок 3.20 – АФЧХ апериодического звена первого порядка

е) .

Обычно в ТАУ строят асимптотические ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и очень легко рассчитываются. На низких частотах , второе слагаемое в выражении очень мало и его можно не учитывать. При второе слагаемое дает значение . При дальнейшем увеличении частоты вклад второго слагаемого возрастает.

Поэтому асимптотическую ЛАЧХ строят следующим образом: для частот по уравнению – прямая параллельна оси частот; для – линия с наклоном -20 дБ/дек. Ошибка на частоте равна 3 дБ, т.е. точная на этой частоте проходит ниже на 3 дБ.

Рисунок 3.20 – ЛАЧХ и ФЧХ апериодического звена первого порядка

Звено устойчивое.

Примеры идеального интегрирующего звена:

Дифференциальным уравнением первого порядка описываются переходные процессы в магнитном усилителе (инерционный усилитель), тепловые процессы, процессы растворения и осаждения и другие технологические процессы.

;

где J – момент инерции вращающегося тела;

– интегратор на операционном усилителе (рисунок 3.10 г):

Рисунок 3.21 – Примеры апериодического звена первого порядка

Форсирующее звено

Уравнение динамики:

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Рисунок 3.22 – Получение форсирующего звена

Форсирующее звено можно получить параллельным соединением идеального дифференцирующего и безынерционного звена (рисунок 3.22):

;

, .

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:


Рисунок 3.23 – Переходная характеристика форсирующего звена	Рисунок 3.24 – Импульсная переходная характеристика форсирующего звена

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой вертикальную прямую в первом квадранте отстоящую от начала координат на величину K.

Рисунок 3.25 – АФЧХ форсирующего звена

е) .

Асимптотическая ЛАЧХ – ломаная линия, для частот – прямая параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстояние , для – линия с наклоном +20 дБ/дек.

Рисунок 3.26 – ЛАЧХ и ФЧХ форсирующего звена

Звено устойчивое

Примеры

Реальное дифференцирующее звено

Уравнение динамики:

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:


а	б

Рисунок 3.28 – Получение реального дифференцирующего звена

Реальное дифференцирующее звено можно получить последовательным соединением идеального дифференцирующего и апериодического звена первого порядка (рисунок 3.28 а) или охватив безынерционное звено идеальной интегрирующей обратной связью (рисунок 3.28 б):

а) ;

;

б) ;

, .

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:


Рисунок 3.29 – Переходная характеристика реального дифференцирующего звена	Рисунок 3.30 – Импульсная переходная характеристика реального дифференцирующего звена

Комплексный коэффициент передачи:

Частотные характеристики:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) АФЧХ этого звена представляет собой полуокружность диаметром расположенную в первом квадранте.

Рисунок 3.31 – АФЧХ реального дифференцирующего звена

е) .

Асимптотическая ЛАЧХ – ломаная линия, для частот – линия с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку на оси ординат, для – прямая параллельная оси частот.

Рисунок 3.32 – ЛАЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего звена

Звено устойчивое

Примеры звена:

Инерционно-форсирующее звено

Уравнение динамики:

Уравнение звена в изображениях:

Передаточная функция:

Рисунок 3.34 – Получение инерционно-форсирующего звена

Инерционно-форсирующее звено можно получить охватив безынерционное звено инерционной обратной связью (рисунок 3.34):

;

, .

Свойства этого звена зависят от соотношения постоянных времени и , если то звено по своим свойствам приближается к инерционному (апериодическому) звену, а если – к форсирующему.

Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика:

;

б) функция веса и импульсная переходная характеристика:





Рисунок 3.35 – Переходная характеристика инерционно-форсирующего звена	Рисунок 3.36 – Импульсная переходная характеристика инерционно-форсирующего звена