Тема: Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.
Цель:
Рассмотреть понятия «совокупность», «выборка», «среднее арифметическое», «медиана», закрепить знания при решении практических задач с применением вероятностных методов.
Теория
Когда сведений очень много, их нужно упорядочивать.
Таблица – самый простой способ упорядочить данные. С некоторыми таблицами вы уже имели дело. Это таблицы сложения и умножения чисел, таблицы спряжения глаголов. Таблицами являются: расписание уроков, страницы школьного дневника, оглавление учебника. Таблицы облегчают поиск необходимых сведений, не заставляя изучать всю имеющуюся информацию. Однако таблицы не дают наглядного представления о соотношении величин.
Для этого служат различные диаграммы: столбиковые, круговые, рассеивания и др. Пословица гласит: «Лучше один раз увидеть». Диаграммы используются для наглядного, запоминающегося изображения и сопоставления данных. Таблицы и диаграммы удобно применять для сравнения шансов случайных событий, используя статистические данные (числовые данные, полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов.) На основе собранных статистических данных вычисляют частоту случайного события и выясняют, как она связана с вероятностью.
Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное со случайным экспериментом (эксперимент, условиями которого являются непредсказуемость и возможность многократного повторения), нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины – абсолютную и относительную частоту. Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Это всегда целое число. Относительная частота (частота 
) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. Она равна отношению n - числа опытов, в которых интересующее нас событие произошло, к N - общему числу проведенных опытов. Это дробное число, меняющееся от 0 до 1. Опытным путем установлено, что проводя эксперименты огромное количество раз (больше 1000), например, такие эксперименты, как бросание игральной кости, бросание монеты, раздача игральных карт, розыгрыш лотереи и др., частоты становятся устойчивыми. Например, изобразим график зависимости частоты от числа опытов при бросании игральной кости, показывающий как часто выпадала «единица»: 
Другой пример. Событие А – «на кубике выпало четное число очков», событие В – «на кубике выпало нечетное число очков».
Устойчивость частот является скорее математическим, а не экспериментальным фактом. На нем основывается частотное, или статистическое определение вероятности: за вероятность случайного события можно приближенно принять его относительную частоту. В теории вероятностей величина, значение которой зависит от исхода эксперимента, называется случайной величиной. Мы будем рассматривать ряд числовых значений такой величины, полученных в какой-либо серии экспериментов. Такой числовой ряд называется случайной выборкой.
Представим себе, что из всех студентов вашего региона случайным образом выбирается 1000 человек и фиксируется их оценка по математике в последней четверти. В статистике множество всех студентов региона будет называться генеральной совокупностью, а случайно выбранная 1000 студентов — случайной выборкой. Однако математики предпочитают иметь дело не со студентами, а с числами, поэтому мы с вами будем называть случайной выборкой только числовой ряд — т. е. в нашем случае не самих выбранных студентов, а их оценки. Займемся числовыми рядами, полученными в результате описанной процедуры.
Включение нового знания в систему имеющихся знаний (45 мин)
Пример 1. Среди школьников седьмых классов был проведен выборочный опрос: из скольких человек состоят их семьи? В результате такого опроса была получена следующая выборка:223333423323232324322324523324323432 3 5 3Здесь каждое число означает количество человек в семье соответствующего ученика. Числа выписаны в том порядке, в котором ученики сдавали свои ответы. А что если упорядочить эти числа по возрастанию? 22222222222222 3333333333333333333 444 4 4 5 5
Не правда ли, этот ряд (он называется ранжированным) воспринимается уже лучше: теперь мы ясно видим, что минимальное значение в нем равно 2, а максимальное — 5. Видно, как часто повторяется каждое из значений. А вот как выглядит представление выборки в виде частотной таблицы:
| Состав семьи (количество человек) | Абсолютная частота | Относительная частота |
| 0,35 | ||
| 0,475 | ||
| 0,125 | ||
| 0,05 |
Первый столбец частотной таблицы содержит различные значения наблюдаемой величины (по возрастанию), второй — сколько раз это значение повторилось в выборке, т.е. его абсолютную частоту, третий — какую долю эти значения составляют от всей выборки, т.е. его относительную частоту. Разумеется, сумма абсолютных частот будет равна объему выборки (т. е. количеству опрошенных учеников — 40), а сумма относительных — 1. Еще более наглядной формой представления результатов выборки является их графическое изображение. Для этого используется так называемый полигон частот — линейная диаграмма, на которой по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной — их относительная частота. После этого полученные точки соединяются ломаной линией (отсюда и название — полигон в переводе с греческого означает многоугольник). 
Пример 2. На школьниках 1 «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий числовой ряд (вес каждого портфеля в кг):2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7;2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75. Чем принципиально отличаются результаты этой выборки от примера 1? Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем составить для нее таблицу частот:
| Вес портфеля (в кг) | Абсолютная частота | Относительная частота |
| 1,15 | 0,05 | |
| 1,5 | 0,05 | |
| 1,75 | 0,05 | |
| 1,8 | 0,05 | |
| 1,9 | 0,05 | |
| 1,95 | 0,05 | |
| 2,1 | 0,05 | |
| 2,2 | 0,05 | |
| 2,25 | 0,05 | |
| 2,4 | 0,1 | |
| 2,45 | 0,05 | |
| 2,6 | 0,1 | |
| 2,7 | 0,05 | |
| 3,1 | 0,05 | |
| 3,2 | 0,05 | |
| 3,4 | 0,05 | |
| 4,3 | 0,05 |
Как видите, частота каждого значения оказалась равной 1 или 2. Это неудивительно, ведь точные совпадения в такой выборке маловероятны, а если измерять вес портфелей еще точнее, то совпадений не будет вовсе. Ясно, что составлять для такой выборки таблицу частот или рисовать полигон бессмысленно — никакого наглядного представления мы при этом не получим. В такой ситуации для представления результатов выборки используют интервальную таблицу частот: весь диапазон значений выборки разбивают на интервалы (чаще всего равные) и подсчитывают частоту попадания в каждый интервал. Вот как будет выглядеть такая таблица в нашем примере, если разбить диапазон от 1 до 5 кг на четыре равных интервала:
| Вес портфеля (в кг) | Абсолютная частота | Относительная частота |
| от 1 до 2 | 0,3 | |
| от 2 до 3 | 0,5 | |
| от 3 до 4 | 0,15 | |
| от 4 до 5 | 0,05 |
При попадании значения на границу интервалов его относят к какому-то одному из них (например, левому), чтобы не считать дважды. Так, если бы у кого-то из первоклассников портфель весил ровно 3 кг, мы включили бы это значение в интервал от 2 до 3 кг. Данные интервальной таблицы частот принято представлять уже не полигоном, а гистограммой частот: по горизонтальной оси откладываются интервалы значений, а над каждым интервалом строится столбик, площадь которого равна относительной частоте попадания в данный интервал. Обратите внимание: именно площадь, а не высота. Хотя, если интервалы равные, то высоты всех столбиков отличаются от соответствующих частот только постоянным множителем — длиной интервала.
В некоторых задачах таблицу частот удобно дополнить еще одной характеристикой, получившей название накопленной частоты. Рассмотрим ее использование на примере.
Пример 3. Перед вами еще одна интервальная таблица частот — распределение семей по уровню доходов:
| Доход на человека (в руб.) | Относительная частота |
| менее 500 | 2% |
| от 500 до 1000 | 6% |
| от 1000 до 1500 | 7% |
| от 1500 до 2000 | 12% |
| от 2000 до 2500 | 36% |
| от 2500 до 3000 | 27% |
| свыше 3000 | 10% |
Предположим, вы услышали по телевизору фразу: «Около 12% семей живет сейчас за чертой бедности». Попробуем определить по имеющейся у нас таблице эту «черту». Для этого нам придется суммировать относительные частоты в правом столбце таблицы до тех пор, пока мы не наберем сумму частот, превышающую 12%. Остановимся в этой строке и посмотрим, чему в это время равно значение в первом столбце — от 1000 до 1500 рублей. Если мы хотим определить эту черту более точно, поделим отрезок от 1000 до 1500 в нужной пропорции. Для этого заметим, что к началу этого отрезка сумма частот составляла 8%, а к концу стала равна 15%. Значит, интересующее нас значение х можно найти из пропорции: 
1285 рублей — это и есть та самая черта, которую диктор назвал «уровнем бедности». Решая эту задачу, мы должны были производить накопительное суммирование относительных частот до тех пор, пока не будет достигнут заданный уровень — 12%. Поскольку эти результаты можно использовать и для решения других задач, удобно хранить полученные результаты — накопленные частоты — в отдельном столбце таблицы:
| Доход на человека (в р.) | Относительная частота | Накопительная частота |
| менее 500 | 2% | 2% |
| от 500 до 1000 | 6% | 8% |
| от 1000 до 1500 | 7% | 15% |
| от 1500 до 2000 | 12% | 27% |
| от 2000 до 2500 | 36% | 63% |
| от 2500 до 3000 | 27% | 90% |
| свыше 3000 | 10% | 100% |
Отметим, что последняя накопленная частота всегда равна 1 (или 100%). Используя данные последней таблицы, решим задачи, встречающиеся на ЕГЭ.
Пример 4. Дана указанная таблица, но без графы «Относительная частота». Вопрос: с какой вероятностью доход людей колеблется от 2500 руб. до 3000 руб.?
Решение: Вероятность, как относительную частоту мы найдем вычитанием из накопительной частоты, стоящей напротив интересующего нас интервала дохода на человека от 2500р. до 3000р. (90%), предыдущего значения накопительной частоты (63%). Т.е. 90% – 63% = 27% = 0,27.
Ответ: 0,27.
Пример 5. Дана указанная таблица. Определить сколько человек из 400 получают наиболее «популярную» зарплату?
Решение: «Популярная» зарплата соответствует строке таблицы напротив частоты 36%. Это значит, из ста человек - 36 получают зарплату от 2500р. до 3000р., тогда из пропорции найдем: из четырехсот человек 4х36=144 человека имеют такой же доход. Ответ: 144.