| Форма обучения | Шифр спец. | группа | Форма проведения | Количество студентов на экзамене | Количество вопросов | Количество ПЗ |
| очная | 09.02.04 | 16ИС12 | устная | |||
Экзаменационные вопросы
В1. История развития комбинаторики и теории вероятности.
В2. Перестановки. Примеры. Факториал числа. Определения, свойства. Перестановки с повторениями.
В3. Размещения с повторениями и без повторений. Определения, примеры. Формулы подсчета числа размещений с повторениями и без повторений.
В4. Сочетания без повторений. Определение, примеры. Формула подсчета числа сочетаний.
В5. Бином Ньютона. Примеры. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.
В6. Случайные события. Виды случайных событий. Определение, примеры.
В7. Классическое определение вероятности. Свойства. Примеры.
В8. Геометрическое определение вероятности. Определение, примеры.
В9. Статистическое определение вероятности. Определение, примеры.
В10.Операции над случайными событиями. Определения, примеры.
В11.Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий. Примеры.
В12.Противоположные события. Сумма противоположных событий. Примеры.
В13.Условная вероятность. Определение, примеры.
В14.Независимые события. Определение, примеры. Теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий.
В15.Формула полной вероятности.
В16.Формулы Байеса. Вероятность оценки гипотез.
В17.Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
В18.Наивероятнейшее число наступления события в схеме Бернулли.
В19.Локальная теорема Лапласа.
В20.Интегральная теорема Лапласа.
В21.Формула Пуассона.
В22.Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей ДСВ.
В23.Биноминальный закон распределения ДСВ. Примеры.
В24.Закон распределения Пуассона для ДСВ. Примеры.
В25.Геометрический закон распределения ДСВ. Примеры.
В26.Гипергеометрический закон распределения ДСВ. Примеры.
В27.Числовые характеристики ДСВ. Мода, медиана. Определения. Примеры.
В28.Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание. Определение, свойства. Примеры.
В29.Числовые характеристики ДСВ. Дисперсия. Определение, свойства. Примеры.
В30.Числовые характеристики ДСВ. Среднее квадратическое отклонение. Определение, свойства. Примеры.
В31.Непрерывные случайные величины. Функция плотности НСВ: определение, свойства. Свойства функции плотности.
В32.Интегральная функция распределения НСВ: определение, свойства, её связь с функцией плотности.
В33.Математическое ожидание и дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины.
В34.Методика расчёта вероятностей для НСВ по её функции плотности, по интегральной функции распределения.
В35.Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения НСВ по её функции плотности. Нахождение медианы НСВ.
В36.Равномерное распределение на отрезке, его числовые характеристики.
В37.показательное (экспоненциальное) распределение, его числовые характеристики.
В38.Нормальное распределения, числовые характеристики.
В39.Генеральная совокупность, выборка. Сущность выборочного метода.
В40.Дискретные и интервальные вариационные ряды. Графические представления дискретного и интервального вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулята.
В41.Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
В42.Выборочные моменты, асимметрия, эксцесс.
В43.Понятие точечной оценки. Точечные оценки для генеральной средней, генеральной дисперсии и генерального среднеквадратичного отклонения.
В44.Понятие интервальной оценки. Надежность доверительного интервала.
В45.Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии дисперсии.
В46.Генератор значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b].
В47.Моделирование нормально и показательно распределенной НСВ.
В48.Моделирование случайной точки, равномерно распределенной в прямоугольнике.
В49.Моделирование сложных испытаний и их результатов (в том числе моделирование биноминальной ДСВ и геометрической ДСВ). Сущность метода статистических испытаний.
В50.Графы. Основные понятия: графические представления, вершина, ребро, дуга, граф, отношение инцидентности, вершины и ребра, инцидентные друг другу, смежные вершины, ориентированный и неориентированный графы, кратные ребра, петля, мультиграф, пустой и полный графы, равные графы.
В51.Способы задания графов: матрица смежности, матрица инцидентности, список ребер.
В52.Расстояние между двумя вершинами. Центр и радиус н-графа.
В53.Маршруты, пути, цепи, циклы.
В54.Связные и несвязные графы. Свойства отношения связности. Компоненты связности. Мост.
В55.Эйлеров цикл, эйлеров граф, эйлерова цепь. Теоремы о существовании в н-графе эйлерова цикла и цепи. Гамильтоновы цикл и цепь.
В56.Планарные графы. Теорема Эйлера. Доказательство утверждения о непланарности полных графов, полных двудольных графов.
В57.Известные задачи на графах.
В58.Деревья. Характерные свойства деревьев. Ориентированное дерево. Бинарные деревья. Цикломатическое число. Лес.
В59.Алгоритмы на графах. Нахождение кратчайших путей из одного источника: алгоритм Дейкстры.
В60.Алгоритмы на графах. Построение минимального остова графа: алгоритм Краскала.
Практические задания
П1. Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр так, чтобы: а) использовались любые из них; б) цифры не повторялись?
П2. Сколько всевозможных кортежей (перестановок) длиной десять можно составить из букв слова «математика»?
П3. Найти третий член разложения бинома Ньютона (4х-y)7.
П4. В ящике 10 болтов и 6 винтиков разных размеров. Нужно подобрать 4 болта и 3 винтика. Сколькими вариантами это можно сделать?
П5. Сколько всевозможных кортежей (перестановок) длиной десять можно составить из букв слова «программирование»?
П6. Сколько трехзначных чисел можно составить из четных цифр так, чтобы: а) использовались любые из них; б) цифры не повторялись?
П7. Сократите дробь: 
.
П8. Найти разложение (2-3х)5.
П9. Найти разложение (2х+1)6.
П10. Двузначное число составляют из цифр 0,2, 5,8,9.
а) Сколько всего чисел можно составить?
б) Сколько можно составить четных чисел?
в) Сколько можно составить нечетных чисел?
П11. В классе 25 учеников, из которых надо выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) первый доказывает теорему, а второй решает задачу;
б) оба выполняют рисунок.
П12. Сколькими способами из 30 студентов можно выбрать: а) старосту, физорга и профорга б) актив группы в составе 5 человек?
П13. Решить уравнение: 
.
П14. Найти разложение (3-2х)4.
П15. Из 10 красных и 5 белых гладиолусов формируют букеты. Сколькими способами можно составить букеты из 3 красных и 2 белых гладиолусов?
П16. Сколько всевозможных кортежей (перестановок) длиной девять можно составить из букв слова «стереометрия»?
П17. В школе олимпийского резерва обучаются 10 лыжников и 15 конькобежцев. Сколько имеется способов сформировать из них команду, в которую должны войти 4 лыжника и 3 конькобежца?
П18. Сколько всевозможных кортежей (перестановок) длиной девять можно составить из букв слова «параллелограмм»?
П19. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.
П20. В поезде 3 общих, 5 плацкартных, 4 купейных и 2 спальных вагона. Какова вероятность, что 3 пассажира, встреченные случайно на перроне, едут в вагоне одного типа?
П21. Секцию по фехтованию посещают 5 студентов из группы 9АСУ, 6 студентов из группы 8АСУ и 6 студентов из группы 10АСУ. Какова вероятность того, что в финальной игре противниками будут одногруппники?
П22. На трассе гонок имеется 4 препятствия. Первое препятствие гонщик успешно преодолевает с вероятностью 0,9, второе - с вероятностью 0,95, третье - с вероятностью 0,8, четвертое - с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что гонщик успешно преодолеет: а) все 4 препятствия; б) не менее двух препятствий из четырех.
П23. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй — 85%, третьей — 75%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
П24. В урну, содержащую 3 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все варианты предположений о первоначальном составе шаров (по цвету).
П25. Устройство состоит из трех независимо работающих блоков. Вероятности безотказной работы блоков за время t равны соответственно p1 = 0,7, p2 = 0,8, p3 = 0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать безотказно: а) все три элемента; б) два элемента; в) один элемент.
П26. Десять книг, из которых три по математике, случайным образом расставляются на полке. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы книги по математике оказались рядом.
П27. В партии из 20 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 3 деталей нет нестандартных деталей.
П28. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле доля первого стрелка равна 0,6, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут оба стрелка.
П29. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,85. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий хотя бы одно стандартное.
П30. В пирамиде 7 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет 1 выстрел из наудачу взятой винтовки.
П31. В читальном зале имеется 10 учебников по теории вероятности, из которых 6 в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся без переплетов.
П32. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно нестандартное.
П33. Среди 300 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся проигрышными.
П34. В партии из 10 деталей 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.
П35. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле доля первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень не попадет ни один из стрелков.
П36. Предприятие отправило на реализацию 5000 качественных микрокалькуляторов. Однако в пути они могут повредиться с вероятностью 0,0004. Найти вероятность того, что повредится не более 4 штук калькуляторов?
П37. Вероятность выздоровления больного в результате нового способа лечения гриппа возросла до 0,7. Какова вероятность того, что во время эпидемии из 1000 больных вылечатся менее 100 больных.
П38. Вероятность поражения стрелком при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 60 и не более 80 раз; б) более 70 раз?
П39. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найдите наиболее вероятное число попаданий при шести выстрелах и соответствующую этому вероятность.
П40. Вероятность появления в продаже бракованного компьютера равна 0,006. Оказалось, что за весь период работы фирмы продано 1000 компьютеров. Найти вероятность того, что продано более четырех бракованных компьютеров.
П41. В каждом из 700 испытаний на брак появление стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что при таких условиях появление бракованной лам почки произойдет чаще, чем в 200 испытаниях, но реже, чем в 250.
П42. У клевера сорта «Пермский» бывает в среднем 80% позднеспелых растений. Какова вероятность того, что 50 растения из 60 растений клевера, отобранных случайным образом, не являются позднеспелыми?
П43. В семье 6 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) три мальчика; б) не более двух мальчиков; в) не менее двух и не более пяти?
П44. Вероятность набора абонентом телефонного номера с ошибкой равна 0,001. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных заказов не более 2 телефонных номеров были набраны с ошибкой.
П45. На цель противника сбрасывается 10 бомб, вероятность попадания в цель для каждой составляет 0,2. Найти: а) наиболее вероятное число попаданий и соответствующую вероятность; б) вероятность того, что число попаданий колеблется в пределах от 2 до 4.
П46. При механизированной уборке картофеля повреждается в среднем 10% клубней. Найти вероятность того, что в случайной выборке из 200 клубней картофеля повреждено от 15 до 50 клубней.
П47. При установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определить вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити.
П48. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
П49. В партии, состоящей из 10 микрокалькуляторов, семь стандартных. Контролер наудачу проверил 2 МК. Составить закон распределения числа обнаруженных стандартных МК.
П50. Даны две дискретные случайные величины Х иY:
Х 1 6 7 Y -1 6
р 0,3 0,4 0,3 p 0.6 0.4
Найти случайные величины X-Y, YX, X2+Y.
П51. Игральная кость брошена 4 раза. Написать закон распределения числа появления тройки.
П52. Даны две дискретные случайные величины Х иY:
Х 3 6 8 Y 1 4
р 0,3 0,5 0,2 p 0.6 0.4
Найти случайные величины 2X+Y, YX, X2.
П53. Фермер содержит 10 коров, 6 из которых дают удои менее, чем по 4000 литров в год. Случайным образом отобраны 3 коровы. Найти закон распределения ДСВ Х-числа коров, дающих указанные низкие надои среди отобранных.
П54. Вероятность изготовления нестандартного изделия постоянна и равна 0,05. Для проверки качества ОТК берет из партии не более четырех изделий. Если будет обнаружено нестандартное изделие, то вся партия будет задержана. Найти ряд распределения ДСВ Х - числа изделий, проверяемых ОТК из каждой партии.
П55. 
У ржи сорта «Тулунская» желтозерными являются 25% растений. Найти закон распределения ДСВ Х - числа зеленозерных растений среди четырех отобранных. Построить многоугольник распределения.
П56. 
Упростите выражение
П57. Упростите выражение
П58. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти закон распределения случайной величины X — числа окрашенных изделий среди случайно отобранных пяти.
П59. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
П60. Двое условились встретиться в определенном месте между полуднем и часом дня. Каждый из пришедших ждет другого 20 мин., после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится, если приход каждого в течение указанного часа происходит наугад и моменты прихода неизвестны?
П61. – П70. Практические задачи на графах.