Глава 2. Механическое движение

2.1 Равномерное движение

2.2 Средняя скорость

2.3 Движение нескольких тел. Относительность движения

2.4 Графические задачи

2.5 Простые кинематические связи

 

Механическое движение - изменение с течением времени положения тел по отношению к другим телам.

Траектория – линия, вдоль которой движется материальная точка

Перемещение – вектор, проведенный из начальной в конечную точку движения. В СИ единица измерения модуля вектора перемещения – метр [S]=м

Путь – длина траектории.В СИ единица измерения пути – метр [L]=м.! Путь всегда больше или равен модулю перемещения. Путь не может быть отрицательным и не может убывать.

Прямолинейное равномерное движение – движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.

 

Величины, описывающие равномерное движение – координата, время, скорость, перемещение.

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения тела. В проекции на ось . В СИ единица измерения скорости – метр/секунду [υ]= .

Связь перемещения скорости и времени при равномерном движении: , для координаты . Часто для упрощения описания неравномерного движения используют среднюю путевую скорость , где - весь путь, - всё время движения (как правило, включая остановки).

При решении задач на среднюю скорость важно на рисунке или в комментариях к решению определить те величины, которые вы вводите для промежуточных выкладок. По возможности их количество не должно быть большим. Чем проще будут обозначения, тем лучше. Например, для обозначения первой трети или двух третей пути вместо S₁, S₂ лучше ввести S/3 и 2S/3 или Sи 2S.

Графики применяются для компактного и наглядного представления информации. Наиболее распространенные зависимости: x(t) – координаты от времени, υ(t) – скорости от времени, пути L(t)

Из графиков можно получить дополнительную информацию, например, о максимальных и минимальных значениях величин, о быстроте изменения величинпо угловым коэффициентам наклона. Часто бывает информативна площадь под графиком.

• По графикам x(t) для нескольких тел на одних осях удобно искать места и времена встречи тел. По углам наклона этих графиков можно судить о скоростях.

 

• По площади под графиком υ(t) можно найти перемещение тела.
• Зависимость пути от времени – монотонная не убывающая функция, начинающаяся из нуля.

 

 

Относительностью движения называют зависимость кинематических величин, характеризующих движение тела от выбора системы отсчета (СО).

Движение тел можно описывать в различных СО. С точки зрения кинематики все СО равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Важно, что сложное движение в удачно выбранных СО может выглядеть очень простым и очевидным.

Некоторые признаки, что в задаче потребуется пересадка (выбор оптимальной СО).

· в рамках одной задачи исследуется движение сразу нескольких тел

· упругие удары о подвижные массивные объекты

· задачи на движение тел в подвижной среде (реки, ветер…)

К пересадкам из одной СО в другую следует относиться не как к дополнительной сложности при решении задач, а как к действию, приводящему к существенному упрощению!

Обычно применяется следующая терминология:

Объект наблюдения – тело, за которым мы следим из одной или нескольких СО.

«Наша»/«неподвижная»/«лабораторная» СО – система отсчета в которой условно для, определенности находимся мы.

«Чужая»/«подвижная» СО – система отсчета движущаяся относительно нашей и откуда тоже кто-то ведет наблюдение за тем же объектом.

Абсолютная скорость υ_a – скорость объекта с нашей точки зрения (из неподвижной СО)

Переносная скорость υ_п – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной

Относительная скорость υ_о – скорость объекта с точки зрения наблюдателя, находящегося в подвижной СО

Закон сложения скоростей: . В случае, когда векторы относительной и переносной скорости параллельны друг другу, закон сложения скоростей можно записать в скалярной форме.

 

В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии (например, оси OX). Но скорости являются величинами алгебраическими и им нужно приписывать определенные знаки (плюс или минус) в зависимости от направления движения.

В неочевидных случаях, чтобы не запутаться в связях между скоростями тел в разных СО, следует чётко для себя ответить на 4 вопроса:

· За кем следим? (что является объектом движения?)

· Где находимся мы? (из какой СО мы следим за объектом?) Условно, эту СО будем считать «неподвижной». Часто она называется «лабораторной»

· Из какой ещё СО следят за этим же объектом? Это будет «подвижная» СО

· Какие из известных или искомых скоростей будут абсолютными, переносными, относительными

Надо иметь ввиду, что пересадка в другую систему отсчета может оказаться неожиданным ходом решения для проверяющего. Поэтому, при оформлении задач ОБЯЗАТЕЛЬНО надо чётко указывать в какой СО вы решаете задачу (исключение - если все решается в земной СО без пересадок). Особенно это актуально, если по ходу одной задачи делается несколько пересадок (например, туда и обратно).

 

На олимпиадах возможен незначительный выход за рамки школьной программы. Знаки проекций скоростей на ось (только в случаях движения вдоль и против оси). Ускорение как быстрота изменения скорости.

Равномерное движение

 

Тренировочные задания

2.1. Выразить следующие скорости в м/с: 90 км/ч, 120 км/ч, 60 см/мин, 1 дюйм/нед, 10 км/мин.

2.2. Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 360 м?

2.3. За какое время плывущий по течению плот пройдет 15 км, если скорость течения 1 м/с?

2.4. Вычислите глубину океана под кораблём, если его эхолот принял отражённый от дна сигнал через 6 с. Скорость звука в воде 1500 м/с.

2.5. Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 минуты. Какова скорость поезда, если длина моста 360 м?

2.6. Автомобиль движется от моста со скоростью 72 км/ч. В начальный момент расстояние от автомобиля до моста равно 200 м. На каком расстоянии от моста будет автомобиль через 10 с?

2.7. Автомобиль движется к мосту со скоростью 72 км/ч. В начальный момент расстояние от автомобиля до моста равно 200 м. На каком расстоянии от моста будет автомобиль через 50 с, если длина моста 400 м?

2.8. Пассажир поезда заметил, что проехал по мосту за 20 с. Часовой, охраняющий мост, зарегистрировал у себя в журнале, что поезд находился на мосту 70 с. Во сколько раз длина поезда больше длины моста?

2.9. Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой и равна по длине секундной. Определите, во сколько раз скорость конца часовой стрелки меньше, чем скорость конца минутной и секундной стрелок.

2.10. Бегун, стартовавший на дистанцию 5 км, первый километр пробежал за 200 с. Каждый следующий километр он пробегал на t секунд дольше предыдущего. Найти t, если всю дистанцию бегун пробежал так, как если бы на каждый километр он затрачивал 202 с.

2.11. В подрывной технике употребляют сгорающий с небольшой скоростью бикфордов шнур. Какой длины надо взять шнур, чтобы успеть отбежать на расстояние 300 м, после того как он будет зажжен? Скорость бега 3 км/ч, а пламя по шнуру распространяется со скоростью 0,8 см/с.

2.12. Вагон поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Одно отверстие в стенках вагона оказалось смещено относительно другого на 3 см. Ширина вагона 2,7 м. Какова скорость движения пули?

2.13. В море при штиле навстречу друг другу плывут два мальчика. Скорость первого 1 км/ч, скорость второго 2 км/ч. Одновременно между ними плавает дельфин. Подплыв к одному из мальчиков, он тотчас поворачивает обратно к другому. Так он и плавает между сближающимися мальчиками. Определите путь который проделает дельфин за время, в течение которого расстояние между мальчиками сократилось от 1 км до 400 м. Скорость дельфина 10км/ч.

2.14. В дельфинарии дрессированный дельфин плавает со скоростью υ= 18 км/ч вдоль стенок квадратного бассейна, описывая квадрат на постоянном расстоянии от прямолинейных участков стенок. Вид сверху дан на рисунке. За t= 1 мин он полностью «обходит» бассейн 3 раза. Найти расстояние между дельфином и стенкой. Длина каждой стенки a= 35 м.

2.15. Пёс Мухтар охраняет территорию склада, окруженную забором радиусом R=100 м. План территории приведен на рисунке. Вдоль забора натянута проволока, к которой привязана цепочка длиной L=20 м. Мухтар умеет бегать со скоростью υ=22,6 км/ч. За какое минимальное время он сможет обежать территорию склада вокруг? Можно считать, что размер склада пренебрежимо мал, а сам склад расположен в центре круга. Примечание: длина окружности s=6,28R.

2.16. Грузовой автомобиль едет со скоростью 60 км /ч. С какой скоростью должен ехать легковой автомобиль, чтобы проходить каждый километр на 2 мин быстрее?

2.17. Путешественник катит чемодан на колесиках со скоростью v=4,5 км/ч по дорожке, вымощенной квадратной тротуарной плиткой в направлении перпендикулярном стыкам между плитками. При этом колеса постукивают на стыках с частотой n=5 Герц (5 стуков в секунду). Чему равен размер тротуарной плитки?

Олимпиадные задания

2.18. Кольцо сварено из двух полуколец, сделанных из разных материалов. Скорость звука в одном материале υ₁, а в другомυ₂. По месту спая стукнули молотком. Через какое время звуковые фронты встретятся, если длина кольца L?

2.19. Экспериментатор Глюк получил приглашение выступить с докладом на научной конференции в сибирском городе N. Он вылетел из Москвы в 9.00 по московскому времени и приземлился в городе N в 16.00 по местному времени. Через несколько дней экспериментатор отправился домой. Он вылетел из города N в 13.00 по местному времени и приземлился в Москве в 14.00 по московскому времени. Оба рейса выполнял один и тот же самолет. Ветра не было. Сколько часов длился полет в одну сторону?

2.20. Мальчик в хорошую погоду едет в школу и обратно на велосипеде. При этом он затрачивает на всю дорогу в обе стороны t=20 минут. Однажды утром он поехал в школу на велосипеде, но днем погода испортилась и домой ему пришлось бежать по лужам пешком. При этом на всю дорогу у него ушло T=30 минут. За какое время мальчику удастся сбегать из дома в магазин и обратно пешком, если расстояние от дома до магазина вдвое больше, чем до школы?

2.21. Если некий человек идет пешком на работу, а обратно едет на транспорте, то всего на дорогу он затрачивает полтора часа. Если же в оба конца он едет на транспорте, то весь путь занимает у него 30 мин. Сколько времени затратит человек на дорогу, если и на работу и обратно пойдет пешком?

2.22. Автомобиль «Волга» может проехать расстояние 39 км от Дубны до Орудьева,имея скорость на асфальте 100 км/ч, а на грунтовом участке 25 км/ч. Автомобиль «Mitsubishi» на асфальте разгоняется до 160 км/ч, но по грунтовке едет только со скоростью 10 км/ч. Какой длины должен быть грунтовый участок, чтобы машины находились в движении одинаковое время?

2.23. Однажды Красная Шапочка решила навестить бабушку. Путь ей предстоял не близкий. Сначала она треть пути не спеша шла по дорожке со скоростью υ. Затем, проголодавшись, села на пенек и съела несколько пирожков. Потратив на еду много времени девочка загрустила, так как уже начинало темнеть. К счастью, тут из леса выбежал Волк, который любезно согласился домчать её до бабушки со скоростью 3υ. В результате получилось, что на всё путешествие девочке потребовалось столько же времени, сколько и при движении с постоянной скоростью υ. Сколько пирожков на пеньке скушала Красная Шапочка, если на каждый пирожок она затрачивала время равное одной девятой времени всего своего путешествия?

2.24. Отправляясь навестить Кролика, Винни-Пух заметил, что его настенные часы стоят, показывая 10 часов 35 минут. Он завел их и пошел в гости. Войдя в дом к Кролику, первым делом Винни посмотрел на часы. На них было 10 часов 10 минут. Через 3 часа, после того как весь мед был съеден, медведь отправился в обратный путь. Когда он вернулся, его часы показывали 2 часа 5 минут. Винни немедленно перевел стрелки на точное время. какое время он выставил на своих часах? Известно, что все путешествие заняло меньше 6 часов.

2.25. В комнате сидит котенок. Мышь выскакивает из одной норки в стене и бежит по прямой с постоянной скоростью к другой норке, расстояние до которой 3,2 м. Котенок заметил мышь в тот момент, когда она выскочила из норки, и пустился за ней в погоню. В каждый момент времени он бежал в направлении на мышь с постоянной скоростью в полтора раза большей скорости мыши. Котенок и мышь одновременно достигли норки. На сколько метров путь пройденный котенком больше чем путь мыши?

2.26. Карлсон купил квартиру на крыше семнадцатиэтажной новостройки на высоте H = 55 м над землей. За вареньем теперь ему приходится летать в соседний магазин, который находится на расстоянии L = 100 м от его дома. В горизонтальном полете Карлсон развивает скорость υ, при вертикальном спуске 2 υ, а при вертикальном подъеме υ /2. Определите, чему равна скорость υ, если на полет до магазина и обратно Карлсон тратит ровно t = 5 мин.

2.27. *[1]Мальчикрешил погулять с компасом по лесу. В течении t₁= 40минут он шёл с постоянной скоростью υна север, затем в течении t₂=15 минут cо скоростью 2υ на запад. Вспомнив, что уже поздно, он побежал по кратчайшему пути со скоростью 5υ в начальную точку прогулки. Сколько минут длилась вся прогулка?

2.28. * Мальчику разрешили погулять по лесу сорок пять минут. В течении 20 минут он шёл с постоянной скоростью на север, затем в течении 15 минут он с той же скоростью шёл на запад. Вспомнив о времени прогулки, он поторопился вернуться назад и побежал по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шёл до этого. Успеет ли мальчик вернуться к намеченному сроку? Ответ обосновать.

2.29. Любопытный котенок бежит по дорожке осеннего парка к речке, но не с постоянной скоростью. Ему всё интересно, поэтому 1 минуту он бежит со скоростью υ=1,4 м/с, затем на 15 секунд он останавливается и играет с листочками, потом 15 секунд бежит в обратную сторону с прежней скоростью υ, опять 15 секунд играет, после чего спохватывается и продолжает бежать в начальном направлении к речке. Характер движения раз от раза в точности повторяется. Примерно, за какое время котенок добежит до речки, если до нее S=1,8 км?

2.30. Расстояние L = 63 км от Москвы до Сергиева Посада электричка преодолевает за время T = 1 час 10 мин, совершая N промежуточных остановок. На пути следования между любыми двумя соседними платформами (от момента начала движения до остановки) электричка движется со средней скоростью = 60 км/ч. Продолжительность одной остановки минута. Сколько остановок делает электричка?

2.31. На дорогу от Москвы до Кубинки (L = 65 км) электричка тратит T = 1 ч 10 минут. Средняя скорость электрички на перегонах между платформами = 70 км/ч. Сколько времени электричка стоит на остановках?

2.32. Велосипедист едет по дороге и через каждые 6 секунд проезжает мимо столба линии электропередачи. Увеличив скорость на некоторую величину Dυ, велосипедист стал проезжать мимо столбов через каждые 4 секунды. Через какой промежуток времени он будет проезжать мимо столбов, если увеличит скорость еще на такую же величину?

2.33. Автобус, двигавшийся со скоростью υ₁=60 км/ч, простоял перед закрытым переездом t=6мин. Если бы водитель не потерял указанное время, то продолжая движение с той же скоростью, на ближайшую остановку он прибыл бы вовремя. Чтобы не выбиваться из расписания водитель должен увеличить скорость движения автобуса. Сможет ли автобус прибыть в пункт назначения по расписанию, если расстояние от переезда до остановки маршрута L=15 км, а на этом участке установлено ограничение скорости υ₂=90 км/ч?

2.34. Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,...,10,....Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Известно, что скорость поезда меньше 100 км/ч. С какой максимальной скоростью мог ехать поезд?

2.35. Восьмиклассник ходит в школу из дома с постоянной скоростью 2 м/с. Однажды, выйдя вовремя, чтобы придти к началу урока, он решает вернуться с полпути домой, так как вспомнил, что забыл дома дневник. Успеет ли мальчик в школу к началу урока, если с этого момента будет бежать со скоростью 14,4 км/ч.

2.36. В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл бы в город в час дня. Но в дороге двигатель заглох, и водитель потратил на ремонт треть времени ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы успеть в город по расписанию водителю пришлось ехать оставшуюся часть пути со скоростью в два раза больше запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?

2.37. Честный мальчик Петя вышел из дома в школу. По дороге он нашел велосипед, и, поскольку опаздывал, решил воспользоваться находкой и доехать на нем, подумав, что потом обязательно вернет велосипед на место. В результате, вся дорога в школу заняла 14 минут. Возвращаясь обратно, он вспомнил о своем намерении только подъезжая к дому. Пете стало стыдно, и он вернулся к месту находки, оставив там велосипед и пешком дошел до дома. Таким образом, дорога из школы заняла у него 22 минуты. Как далеко от дома лежал велосипед, если на нем Петя мчался со скоростью 15 км/ч?

2.38. Лыжник рассчитал, что если он станет делать в час 10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня. При скорости 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня. С какой скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

2.39. Человек стоит на расстоянии 6 м от реки. На расстоянии 34 м от реки горит костер. Расстояние между перпендикулярами, опущенными на берег реки из точек, в которых находятся человек и костер, равно 30 м. Человек бежит со скоростью 5 м/с к реке, зачерпывает ведро воды, потом бежит к костру и заливает его. Какое минимальное время необходимо для этого, если на зачерпывание воды уходит 5 с?

2.40. Три лучника стоят на одной линии на расстоянии 2 м друг от друга и стреляют последовательно через 1 с перпендикулярно линии стрельбы по длинной мишени, которая движется параллельно линии стрельбы со скоростью 0,5 м/с. На каком расстоянии друг от друга попадут стрелы в мишень, если известно, что все они летят с одинаковыми скоростями?

2.41. Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках D, K, M (причем DK = KM = L= 10000 м) зарегистрировали сигнал от взрыва, произошедшего в точке X, расположенной на этой же прямой. В моменты регистрации взрыва часы около микрофонов D, K, M показывали времена t_D=10:45:44, t_K=10:45:14 и t_M=10:45:32 (чч:мм:сс) соответственно. Найдите на каком расстоянии от точки К находится точка Х. Часы синхронизированы и идут верно.

2.42. Вдоль границы раздела двух магнитных полей по полуокружностям, имеющим радиусы R₁=R и R₂=1,3Rс постоянной по модулю скоростью υ движется заряженная частица (см. рисунок). На какое расстояниесместится частица за время T гораздо большее времени движения по полуокружности? Примечание: длина окружности s=6,28R.

 

[1] Задача для 8 класса. Требуется знание теоремы Пифагора (см. Приложение 4).