III. Элементы математической статистики

Содержание дисциплины

Предмет и метод теории вероятностей. Задачи, решаемые с использованием теории вероятностей.

Случайные события. Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей событий с использованием формул комбинаторики. Статистическое и геометрическое определение вероятности. Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей случайной величины и способы его задания. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график. Числовые характеристики распределения случайной величины, их смысл. Законы распределения дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона. Нормальный закон распределения вероятностей, его свойства. Показательное распределение. Равномерное распределение.

Предмет и метод математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд. Группированная выборка. Группированный статистический ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Точечные оценки параметров распределения, требования, предъявляемые к ним. Выборочные среднее и дисперсия как оценки среднего и дисперсии случайной величины. Методы нахождения точечных оценок. Мода, медиана, эмпирические моменты.

Основные свойства статистических характеристик параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещенность выборочной дисперсии. Способы построения оценок.

Интервальные оценки. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при неизвестной дисперсии. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критические точки. Мощность критерия. Критерии для проверки гипотез о вероятности события, о математическом ожидании, о сравнении двух дисперсий.

 

Теоретические вопросы к экзамену

I. Случайные события

1. Классическое определение вероятности.

2. Вычисление вероятностей событий с использованием формул комбинаторики. Статистическое и геометрическое определение вероятности.

3. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

4. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

5. Теоремы умножения вероятностей.

6. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

7. Формула полной вероятности.

8. Формула Байеса.

9. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

10. Формула Пуассона.

 

II. Случайные величины

11. Закон распределения вероятностей случайной величины и способы его задания.

12. Биномиальное распределение.

13. Распределение Пуассона.

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины, свойства

15. Дисперсия дискретной случайной величины, свойства

16. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения.

17. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона.

18. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график.

19. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства и график.

20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

21. Дисперсия дискретной случайной величины

22. Нормальный закон распределения вероятностей, его свойства.

 

III. Элементы математической статистики

23. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд, статистический ряд.

24. Полигон частот.

25. Выборочная функция распределения и гистограмма.

26. Точечные оценки параметров распределения, требования, предъявляемые к ним.

27. Выборочные среднее и дисперсия как оценки среднего и дисперсии случайной величины.

28. Основные свойства статистических характеристик параметров распределения: несмещенность, состоятельность, эффективность. Несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещенность выборочной дисперсии. Способы построения оценок.

29. Интервальные оценки. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал.

30. Построение доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при известной и при неизвестной дисперсии.

31. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

32. Статистическая проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простой и сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы.

 

Задачи к экзамену (типовые задачи)

1. Опыт – подбрасывается игральный кубик. События (k=1,2,3,4,5,6) – «выпадение k очков». Записать через следующие события: А – «выпадение четного числа очков», В - «выпадение нечетного числа очков», С - «выпадение числа очков, кратного трем», D - «выпадение числа очков, большего трех».
2. Сколькими способами можно выбрать трех человек на три разные должности из десяти кандидатов?
3. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
4. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
6. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
7. Пусть вероятность того, что в течении гарантийного срока телевизор потребует ремонта р=0,2. Найти вероятность того, что из 6-ти телевизоров а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один потребует ремонт.
8. Вероятность того, что деталь стандартная для 1 станка – 0,8, для 2 – 0,9. найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной, если производительность первого станка вдвое больше второго.
9. Для участия в соревнованиях выделены студенты: 4 первокурсника, 6 - второкурсников, 5 - третьекурсников. Вероятность того, что студент 1, 2 или 3 курса попадет в сборную, равна 0.9, 0.7 и 0.8 соответственно. Наудачу выбранный студент попал в сборную. На каком курсе вероятнее всего учится студент?

10. В одной коробке 7 красных и 3 зеленых шара, в другой – 6 красных и 4 зеленых. Наудачу выбирается 1 шар. Выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что он из 1 коробки?

1. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Случайная величина Х – число поврежденных в пути изделий. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия, б) хотя бы одно изделие в) менее 3 изделий.

12. Среди семян ржи 0.4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

13.

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

Найти:

13.1. функцию распределения ;

13.2 вероятность попадания Х на интервал ;

13.3. .

1. Случайная величина задана функцией распределения

Найти .

1. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале [0;3], вне этого интервала . Найти:

15.1 параметр С,

15.2 функцию распределения ,

15.3 ,

15.4 вероятность того, что в результате 3-х испытаний величина Х ни разу не попадет в интервал (1,5; 2,5).

1. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Случайная величина Х – число поврежденных в пути изделий. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия, б) хотя бы одно изделие в) менее 3 изделий.
2. Прибор состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года 0,002. Найти вероятность того, что за год откажут а) ровно 2 элемента, б) менее 2 элементов, в) хотя бы один элемент
3. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит:

18.1 менее двух вызовов,

18.2 хотя бы один вызов,

18.3 не менее 2 вызовов.

18.4 Пусть Х – число вызовов поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту. Найти .

1. Записать вид функции плотности нормальной случайной величины, если . Найти .
2. Составить ряд распределения случайной величины Х- числа выпадения герба при 3 бросаниях монеты. Найти .
3. Автомат изготовляет болты. Болт считается годным, если отклонение Х размера болта от проектного по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что с.в. Х распределена по нормальному закону с мм, найти, сколько в среднем будет годных болтов среди 100 изготовленных.

21.1 Найти .

21.2 Написать выражение для плотности распределения.

1. Нормальная случайная величина Х имеет параметры и . При каких значениях d выполнено условие ?
2. Стандартная длина детали равна мм, среднее квадратичное отклонение . Какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
3. Дано статистическое распределение выборки значение случайной величины Х

Найти , , . Построить полигон частот.

1. Даны результаты 20 измерений: 3,4; 3,3; 4,2; 4,5; 5,1; 5,6; 6; 6,3; 6,7; 7,2; 7,6; 8,1; 8,7; 9,2; 9,8; 10,3; 10,7; 11,2; 11,8; 12,5. Найти , .
2. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью g=0,99, если в результате 9 измерений получены ; .
3. Даны результаты 10 измерений 1; 1; 1,05; 0,95; 1; 0,95; 0,95; 0,9; 1; 1,05. Построить полигон относительных частот и график эмпирической функции распределения. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения с надежностью g=0,95.
4. Автотранспортная компания желает оценить среднее время транзита грузов из столицы в северные регионы страны. Случайная выборка 20 партий товаров дала дней, дня. Постройте 99%-ный доверительный интервал для среднего времени транзита товаров.