Номера примеров и упражнений – по учебному пособию: Л.Л. Березкина. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
ТИПЫЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать
Для получения оценки «четыре» или «пять»
Кроме задач, предложенных для письменной части экзамена, необходимо уметь выполнять все операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц, находить степени квадратной матрицы и вычислять многочлен от матрицы, а также определять взаимное расположение пар плоскостей или прямых на плоскости по их общим уравнениям.
ТИПЫЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать
Для получения оценки «шесть» или «семь»
Кроме задач, предложенных для письменной части экзамена и необходимых для получения оценки «четыре» или «пять», следует уметь решать следующие типы задач:
Векторы и линейные операции над ними. Например:
31. В четырехугольнике 
точки 
и 
– середины диагоналей 
и 
соответственно. Найдите разложение вектора 
по векторам 
, 
и 
.
32. В треугольнике 
известны векторы 
и 
. Найдите какой-либо вектор, задающий направление биссектрисы внутреннего угла при вершине 
.
33. 1.34; 1.19; 1.20; 1.26.
34. 
– треугольная пирамида. Докажите, что 
. Верно ли это утверждение для произвольных четырех точек?
35. Втреугольной пирамиде 
– точка пересечения медиан грани 
. Представьте вектор 
в виде линейной комбинации векторов 
, 
и 
.
36. Докажите, что равновесие материальной точки невозможно под действием а) двух неколлинеарных сил; б) трех некомпланарных сил.
37. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и заданы две точки 
и 
. Найти координаты середины отрезка 
(вывести формулу).
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Например:
38. 1,4; 1.48 (
); 1.53; 1.60; 1.57; 1.59; 1.66 (в); 1.50; 1.55.
39. Убедитесь, что векторы 
и 
, отложенные от одной точки, могут служить ребрами куба, и найдите вектор третьего ребра.
40. 1.83; 1.87.
41. Докажите, что если ненулевые векторы 
и 
коллинеарны. то векторы 
, 
, 
и 
компланарны.
42. Докажите, что если для трех неколлинеарных векторов 
, и 
имеет место равенство 
, то 
.
43. 1.3; 1.5; 1.6; 1.77 – 1.81; 1.88;1.91.
Составление уравнений прямой на плоскости и в пространстве по различным данным, например
44. 2.38 (условие: 
– не начальная точка); 2.39, 2.42; 2.48 (можно в координатной форме).
45. 2.6; 2.43; 2.62 (можно в координатной форме).
46. Каковы особенности расположения плоскости 
относительно прямоугольной декартовой системы координат, если:
а) 
, б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
?
47. 2.74.
48. Составьте уравнение плоскости проведенной, через точку 
параллельно плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
.
49. 2.100; 2.102 (канонические уравнения), 2.103 (в виде пересечения плоскостей).
50. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые 
и 
.
51. Даны вершины треугольной пирамиды 
, 
, 
, 
. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через ребро 
и середину ребра 
.
52. 2.71; 2.101; 2.122, 2.125.
53. Выясните взаимное расположение плоскости 
и прямой 
в зависимости от параметра 
.
54. 2.135: 2.82.
55. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые 
и 
.
56. Выясните взаимное расположение плоскости 
и прямой 
в зависимости от значений параметров 
и 
.
Линии второго порядка. Уметь решить любую из задач, предназначенную для письменной части экзамена.
Определители.
57. Вычислите определители:
а) 
; б) 
.
58. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований 
.
59. Вычислить определитель при помощи правила прямоугольников 
.