Задания для письменной части экзамена по курсу
«Аналитическая геометрия и линейная алгебра»
На факультете радиофизики и компьютерных технологий
Курс, 1 семестр 2018-2019 уч.год.
преподаватель Березкина Л.Л.
1. В параллелепипеде 
известны векторы 
. Найдите сумму 
.
2. Заданы точки 
. Найдите расстояние между ними.
3. Заданы точки . Найдите координаты вектора 
и координаты середины отрезка 
.
4. Задана точка 
и вектор 
. Найдите координаты точки 
.
5. Заданы векторы 
. Найдите скалярное и векторное произведения векторов 
и 
, а также смешанное произведение векторов , и 
.
6. Найдите момент равнодействующей сил 
относительно точки 
, если эта равнодействующая приложена к точке 
, а также работу этой равнодействующей при перемещении ее точки приложения из положения в положение .
7. Задан треугольник 
, где 
. Найдите длину стороны 
, косинус внутреннего угла 
, а также площадь этого треугольника (методами векторной алгебры).
8. Найдите объем треугольной пирамиды 
, если 
, 
, 
, 
.
9. Заданы векторы 
, 
, 
. Проверьте, являются ли эти векторы компланарными и образуют ли они базис в пространстве. Если векторы некомпланарны, определите ориентацию тройки 
.
10. Нарисуйте прямую на плоскости, заданную уравнением 
.
11. Нарисуйте плоскость, заданную уравнением 
.
12. Составьте уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом, проходящей через точки 
.
13. Заданы вершины треугольника 
. Составьте:
а) параметрические уравнения стороны ;
б) канонические уравнения средней линии, параллельной ;
в) общее уравнение высоты, проведенной из вершины 
;
г) уравнение медианы, проведенной из вершины , с угловым коэффициентом.
14. Даны точки 
и прямые 
Составьте:
а) общее уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;
б) общее уравнение плоскости, проходящей через точку А и прямую 
;
в) общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и 
;
г) общее уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой 
;
д) общее уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой .
15. Найдите расстояние между параллельными плоскостями 
и 
.
16. (3.2.) Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3;
3) большая полуось равна 5 и точка 
лежит на эллипсе.
17. (3.3.) Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось равна 13;
3) эксцентриситет эллипса равен 0,8, а уравнение одной из директрис 
.
18. (3.4.) Составьте уравнение гиперболы, если
2) фокусы симметричны относительно начала координат, эксцентриситет равен 
, а уравнение одной из директрис 
;
3) гипербола проходит через точку 
, а ее вершины находятся в точках 
и 
.
19. Нарисуйте следующие линии:
, 
, 
, 
; 
, 
, 
, 
; 
, 
.
20. (3.5.) Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
2) расстояние между фокусами равно 10, а эксцентриситет 
;
3) уравнение одной из асимптот 
, а действительная полуось равна 6;
4) эксцентриситет равен 2,6, а расстояние между директрисами равно 
.
21. (3.6.) Составьте уравнение параболы, если
1) ее вершина совпадает с началом координат, а фокус находится в точке 
;
2) ветви направлены вверх, а фокальный параметр равен 4;
3) уравнение директрисы 
, а фокус находится в точке 
;
4) ее вершина совпадает с началом координат, парабола проходит через точку 
и ось абсцисс является осью параболы.
22. (3.54.) Определите вид и расположение линии второго порядка:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
.
23. (3.56.) Изобразите наплоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
24. (3.57.) Изобразите наплоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
25. Нарисуйте следующие поверхности: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
26. (4.25.) Определите вид поверхности и нарисуйте эту поверхность, если ее уравнение имеет вид:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
.
27. (4.26.) Нарисуйте множество точек пространства, удовлетворяющих системе следующих неравенств:
1) 
3) 
5) 
2) 
4) 
6) 
28. Заданы матрицы 
и 
. Найдите те из произведений , 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, которые существуют.
29. Вычислите определители 4-го и 5-го порядков с помощью элементарных преобразований. Например, 
, 
.
30. Для матрицы третьего порядка вычислите обратную при помощи алгебраических дополнений (например, для матрицы 
).
ЗАДАЧИ ДЛЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА по аналитической геометрии
и линейной алгебре
(числа в экзаменационных задачах будут изменены)
Все задачи решались на практических занятиях, либо предлагались в качестве домашнего задания