Тема: «Десятичные дроби и проценты. Сложные задачи на десятичные дроби и проценты»
Здравствуйте ребята! Для изучения этой темы вам нужно повторить действия с десятичными дробями.
Проценты – это одна из сложнейших тем математики. Понимание процентов и умение выполнять процентные расчеты, необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы велико и затрагивает различные сферы деятельности человека. Задачи на процентные расчеты часто приходится решать людям, которые в своей профессии связаны с экономикой, банковским делом.
Давайте вспомним, какие типы задач на проценты мы знаем, какими методами можем решать задачи на проценты и приступим к решению задач:
В школе 1700 учащихся, из них 45 % девочки. Сколько девочек в школе? (решить задачу можно тремя способами):
1 % =  ;
1700: 100 = 17 (уч.) – 1 %
17 × 45 = 765 (дев.)
| 45 % = 0,45 1700 × 0,45 = 765 (дев.) | 1700 уч. – 100 %
х уч. - 45 %
х =  (дев.)
|
Ответ: в школе учатся 765 девочек.
№ 866. Число 200 увеличили на 20 %, полученный результат уменьшили на 20 %. Получится ли в результате число 200? Какое число получится?
Решение:
1) 1,2 × 200 = 240 – стало;
2) 240 × 0,2 = 48 – составляет 20% от 240;
3) 240 – 48 = 192 число.
Ответ: нет, в результате не получится число 200.
№ 879. Имеется 600 г раствора, содержащего 15 % соли. Сколько воды требуется добавить в раствор, чтобы он стал содержать 10 % соли?
Решение:
1) 600 × 0,15 = 90 (г) – соли содержится;
2) 90: 0,1 = 900 (г) – раствора должно получиться;
3) 900 – 600 = 300(г) – воды надо добавить.
Ответ: 300 (г) воды нужно добавить к раствору.
№ 873 Служащая фирмы сказала: «Производство продукции нашей фирмы увеличится на 200 %, или в 2 раза». Исправьте её ошибку, если верно условие: а) на 200 %; б) в 2 раза.
Решение:
а) если производство увеличивается на 200 %, то оно теперь составляет 100% +200 % = 300% - увеличение в 3 раза.
б) если производство увеличилось в 2 раза, то оно составило 100 % × 2 = 200 % от первоначального количества производимой продукции. Увеличение составило: 200 – 100 = 100 (%)
№ 868
а) Число а больше числа b в 1,25 раза; в 1,32 раза; в 1,5 раза. На сколько процентов число а больше числа b?
б) Число а больше числа b на 25 %; на 48 %; на 60 %. Во сколько раз число а больше числа b?
(Ответ: а) 25%; 32%; 50%; б) в 1,25 раз; в 1,48 раз; в 1,6 раз)
Дополнительная задача № 1:
В магазин поступили книги по цене 101,5 р. Наценка магазина составляет 20 %. При оптовой покупке делается скидка 5 %. Какой будет цена книжки при оптовой покупке?
Решение:
1) 101,5 × 0,2 = 20,3 (р.) – наценка;
2) 101,5 + 20,3 = 121,8 (р.) – стоимость книги в магазине;
3) 121,8 × 0,95 = 115,71 (р.) – цена книги при оптовой покупке.
Дополнительная задача № 2:
Вкладчик внес в банк 60 000 р. Под 12 % годовых, через год процентная ставка выросла до 15 %. Сколько денег получит вкладчик через 2 года?
Решение:
1) 60 000 × 0,12 = 720 (р.) –составляет 12 %;
2) 60 000 + 720 = 60 720 (р.) на счету через год;
3) 60 7020 × 1,15 = 69 828 (р) – через два года.
Устные упражнения:
1) представьте проценты в виде десятичной дроби: 1 %, 17 %, 25 %, 30 %, 100 %, 175 %, 0,8 %,
2) выразите дробь в виде процента: 0,7; 0,3; 0,37; 1; 1,27; 0,906; 3,457.
3) Какую часть числа составляют 50 % этого числа; 25 % этого числа; 10 % этого числа?
4) Найдите 15 % числа, указанного на лепестках первой ромашки. Полученное число составляет 25 % того, что должно быть на соответствующем лепестке второй ромашки. Заполните вторую ромашку. Какой процент составляет сумма чисел на лепестках второй ромашки от суммы чисел на лепестках первой?
Задачи на сложные проценты
Ø Чтобы найти, сколько процентов составляет число A от числа B, нужно найти A/B⋅100%.
Ø ▸ Чтобы найти, на сколько процентов число A больше (меньше) числа B, нужно найти, сколько процентов составляет число A от числа B, а затем из этого количества процентов отнять 100% (из 100% отнять найденное количество процентов). Заметим, что складывать проценты можно только в том случае, если они взяты от одной и той же величины!
Задача: В 2015 году население составляло 115% по сравнению с предыдущим годом, а в 2016 – 110% по сравнению с предыдущим. Сколько процентов составило население в 2016 году по сравнению с 2014 годом?
Т.к. в 2015 году задан процент относительно 2014, а в 2016 – относительно 2015, то нельзя сказать, что в 2016 году население составило 115%+110%. Решим задачу правильно.
Пусть x – количество людей в 2014 году.
в 2015: 1,15x человек в 2016: 1,1⋅(1,15x)=1,265x.
Т.е. население в 2016 составило 126,5% по сравнению с 2014 годом.
Здадача: Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 4%. На сколько процентов шесть таких же рубашек дороже куртки?
Решение: Пусть x – цена рубашки, а y – цена куртки. Тогда стоимость 4 рубашек составляет 0,96% от стоимости куртки: 4x=0,96y. Нужно найти 6x: 6x=3/2⋅4x=3/2⋅0,96y=1,44y Следовательно, стоимость 6 рубашек составляет 144% от стоимости куртки, то есть дороже куртки на 44%.
Ответ: 44
Задача: Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?
Решение: Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x · 1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8 · 1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.
Задача: Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).
Задача: Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса можно оставить меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.
Задача: а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
Объясняя решение задачи, воспользуемся следующей иллюстрацией.
Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25 % массы сушеных яблок?
Ребята, вы рассмотрели решение некоторых задач, поэтому в классной работе вам необходимо решить №№855 (а,б), 856 (в,г), 858 (1), 859 (2,3).
Домашнее задание: повторить п.4.7 решить № 857 (а, б), № 862.
Желаю успехов!!! Будьте здоровы!!!