Тема 9. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Часть 1
Выборочная средняя арифметическая
Наиболее важными числовыми характеристиками совокупности являются среднее арифметическое, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Рассмотрим подробнее эти характеристики.
Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X. Генеральной средней 
называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения 
генеральной совокупности объема N различны, то
Если значение признака 
имеют частоты соответственно 
, причем 
= N, то
,
т.е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.
Пусть генеральная совокупность объема N содержит объекты со значениями признака X, равными . Из генеральной совокупности наудачу извлекается один объект. Очевидно, что вероятность появления любого значения признака генеральной совокупности равна 
. Найдем математическое ожидание 
:
,
т.е. генеральная средняя равна математическому ожиданию случайной величины:
В практике исследований распределение величины Х и математическое ожидание как правило неизвестны. Математическое ожидание оценивают по некоторой выборке. В качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю.
Пусть для изучения количественного признака генеральной совокупности извлечена выборка значений признака 
объемом n. Выборочной средней 
называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения 
признака выборки объема n различны, то
Если значения 
признака имеют частоты соответственно , причем = n, то
,
т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.
Групповая и общая средняя
Допустим, что все значения количественного признака X совокупности (безразлично какой – генеральной или выборочной) разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.
Определение. Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.
Определение. Общей средней 
называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.
Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп.
Пример. Найти общую среднюю совокупности, состоящей из следующих двух групп:
Группа первая вторая
Значения признака 1 6 1 5
Частота 10 15 20 30
Объем 10 + 15 = 25 20 + 30 = 50
Решение. Найдём групповые средние:
; 
.
Найдем общую среднюю по групповым средним:
.
Замечание. Для упрощения расчета общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним найти общую среднюю.