Нелинейные электрические и магнитные цепи

1. Кривая, выражающая функциональную зависимость напряжения от тока, называется вольт-амперной характеристикой элемента цепи.

Нелинейные элементы цепей могут иметь симметричные или несимметричные (относительно начала координат U = 0, I = 0) характеристики. Несимметричными характеристиками обладают так называемые полупроводниковые элементы цепей.

При расчете нелинейных цепей вводят следующие понятия:

а) Статическое сопротивление – отношение напряжения к току,

r ст (I)=UI.rст(I)=UI. (1)

б) Дифференциальное сопротивление (динамическое сопротивление) – предел отношения малого приращения напряжения к малому приращению тока при неограниченном уменьшении последнего,

r д (I)=dUdI.rд(I)=dUdI. (2)

Для некоторой точки a характеристики (рис. 1) величина статического сопротивления пропорциональна тангенсу угла α, образованному лучом, проведенным из начала координат в данную точку, с осью токов

r ст (I)=k⋅tgα,rст(I)=k⋅tgα, (3)

а величина динамического сопротивления пропорциональна тангенсу угла β, образованному касательной к характеристике в точке a с осью токов

r д (I)=k⋅tgβ,rд(I)=k⋅tgβ, (4)

где

k=mUmI.k=mUmI. (5)

Здесь m_U – масштаб напряжений, m_I – масштаб токов.

Для пассивных элементов (т.е. не содержащих источников энергии) всегда r_ст > 0, a r_д > 0 – для точек, лежащих на восходящей части характеристики (рис. 1, точка a), r_д < 0 – для точек, лежащих па падающей части характеристики (рис. 1, точка b).

2. Графический метод расчета электрических цепей, состоящих из последовательно, параллельно или смешанно соединенных ветвей и участков, содержащих нелинейные элементы, производится следующим порядком: строятся характеристики отдельных элементов цепи, по которым, на основании соотношений, определяемых законами Кирхгофа, вычерчиваются характеристики цепи, состоящей из нескольких элементов, соединенных между собой тем или иным способом. Используя эти характеристики, можно определить величины напряжений и токов в отдельных участках цепи.

При последовательном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2, а), характеристики которых I = F _l (U ₁) и I = F ₂ (U ₂), строится характеристика I = F (U ₁ + U ₂), точки которой получатся путем сложения для каждого значения тока соответствующих им значений напряжений U ₁ и U ₂ (на рис. 2, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

В случае последовательного соединения нелинейного элемента, характеристика которого I = F _l (U ₁), с линейным сопротивлением r, включенными на напряжение U (рис. 3, а), помимо указанного, часто используется и другой путь.

Строятся характеристика нелинейного элемента и прямая по уравнению U ₂ = U – I·r (рис. 3, б). Точка их пересечения m определяет режим работы схемы (на рис. 3, б отрезок 0a в масштабе токов выражает ток, а отрезок 0b в масштабе напряжений – напряжение U ₁ на нелинейном элементе).

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 4, а) по заданным характеристикам I ₁ = F _l (U) и I ₂ = F ₂ (U) строится характеристика I = I ₁ + I ₂ = F (U) (рис. 4, б). Она получается из заданных путем сложения для каждого значения напряжения соответствующих им токов в параллельных ветвях (на рис. 4, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

При смешанном соединении нелинейных элементов сначала строится характеристика для параллельных ветвей и затем – характеристика для последовательных элементов: заданного и эквивалентного параллельным ветвям.

3. В ряде практических задач в целях упрощения расчета цепи, содержащей нелинейные элементы, ее заменяют эквивалентной линейной цепью. Такая замена называется линеаризацией. В простейшем случае можно нелинейную вольт-амперную характеристику заменить ломаной линией, состоящей из ряда прямолинейных участков (кусочно-линейная аппроксимация); тогда в пределах каждого участка зависимость между током и напряжением выражается линейным уравнением.

Так, в случае линеаризации участка ab характеристики в пределах U ₁ < U < U ₂(рис. 5) уравнение прямой будет иметь следующий вид

U=IdUdI−E=I⋅r д −E,U=IdUdI−E=I⋅rд−E, (6)

где производная dUdI=r д dUdI=rд – динамическое сопротивление, которое в пределах рассматриваемого интервала предполагается постоянным.

Нелинейный участок ab характеристики может быть заменен эквивалентной схемой, состоящей из линейного сопротивления r_д и э.д.с. E, включенным согласно схеме рис. 6.

Следует помнить, что замена справедлива лишь в таком режиме работы, когда напряжение на нелинейном элементе цепи лежит в пределах линеаризированного участка (U ₁ < U < U ₂, рис. 5). При выходе за эти пределы эквивалентная схема потеряет силу.

При линеаризации участка ab характеристики (рис. 7) вблизи точки c (соответствующей напряжению U ₁) уравнение будет

U=IdUdI+E=I⋅r д +E,U=IdUdI+E=I⋅rд+E, (7)

а нелинейный элемент цепи в этом режиме работы может быть заменен эквивалентной схемой по рис. 8.

4. При последовательном соединении нелинейного элемента, характеристика которого задана, и источника с постоянной э.д.с. E (рис. 9), характеристика всей ветви строится на основании уравнения второго закона Кирхгофа

U_ac = U_ab – E. (8)

Для рис. 10 характеристика ветви строится по следующему уравнению

U_ac = U_ab + E. (9)

При параллельном соединении ветвей, содержащих нелинейный элемент и источник э.д.с., для каждой из ветвей по только что указанному способу строят соответствующие характеристики, затем на их основе, как и в случае параллельного соединения нелинейных элементов, строят характеристику параллельных ветвей (см. п. 2).

При смешанном соединении ветвей, содержащих нелинейные элементы и источники э.д.с., пользуются теми же приемами, как и при смешанном соединении нелинейных элементов (см. п. 2), при этом предварительно строят характеристики для каждой из ветвей, содержащей нелинейный элемент и э.д.с.

5. Расчет токов в сколь угодно сложной цепи, состоящей из любого числа линейных сопротивлений и э.д.с. и содержащей лишь один нелинейный элемент (рис. 11), производится при помощи метода эквивалентного генератора.

Ветвь ab, содержащая нелинейный элемент, мысленно размыкается, и так же, как в линейных цепях, определяются напряжение холостого хода U_ab = E и сопротивление короткого замыкания r_k по отношению к зажимам ab. На этой основе заданная схема может быть заменена ей эквивалентной согласно рис. 12.

Последняя же может быть рассчитана, как указано выше (п. 2 и 4). Таким образом будет определен ток I в нелинейном элементе. Наконец, возвращаясь к исходной схеме, на основании законов Кирхгофа можно рассчитать токи в остальных ветвях.

Нелинейные магнитные цепи рассчитываются аналогичным образом.