ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Определение производной
Определение производной. Пусть задана функция 
, 
и пусть 
- некоторая точка интервала 
. Предел
называется производной функции в точке и обозначается 
(если последний предел существует). Таким образом, по определению,
Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция , , имеющая в каждой точке интервала производную, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.
Обозначение производной функции 
: 
Если ввести приращение аргумента 
и приращение функции 
, определение производной запишется в виде
Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Теорема 1. Если функции 
и 
дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Теорема 2. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. 
, где 
- дифференцируемая функция.
Теорема 3. Если функции и дифференцируемы на некотором интервале и 
для любого x из этого интервала, то
.
Производные некоторых элементарных функций
1. 
9. 
2. 
10. 
3. 
11. 
4. 
12. 
5. 
13. 
6. 
14. 
7. 
15. 
8. 
16. 
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в виде:
или 
. В выражении 
переменная u называется промежуточным аргументом.
Теорема. Если функция 
имеет в некоторой точке x производную 
, а функция имеет при соответствующем значении u производную 
, то сложная функция в указанной точке x также имеет производную, которая равна
,
где вместо u должно быть подставлено выражение .
Коротко,
,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Пример: Дана функция 
. Найдите 
.
Решение. Введем промежуточный аргумент u:
Тогда 
. По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
Геометрический смысл производной
Рассмотрим функцию . Возьмём на графике функции точки 
и 
.
Из прямоугольного треугольника 
получаем 
, тогда
.
Следовательно, значение производной 
в данной точке x равняется тангенсу угла, образованному касательной к графику функции в соответствующей точке с положительным направлением оси Ox.
Пример: Найдите тангенсы углов наклона касательной к кривой 
в точках 
, 
.
Решение. 
, 
.
Механический смысл производной
Если при прямолинейном движении точки задан закон движения 
, то скорость движения в момент 
есть производная пути по времени:
.
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Через сколько времени после начала движения точка остановится? Найдите путь, пройденный точкой до остановки.
Решение. В момент остановки скорость точки равна нулю. Находим 
. Решаем уравнение 
, т.е. 
. Таким образом, после начала движения точка остановится через 
с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит 
м.