Определение.
Случайная величина - величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причём до завершения опыта неизвестно какое.
Кроме того, возможно измерение случайной величины, в случае, если она дискретная. Для этого существует ряд тезисов теории вероятностей, с которыми мы сейчас познакомимся.
Определение.
Дискретная случайная величина - величина, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями
Закон распределения - любое правило, устанавливающее соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления
Ряд распределения - совокупность всех возможных значений xi и соответствующих им вероятностей pi.
Многоугольник распределения - графическое изображение ряда распределения, ломаная линия, узлами которой являются точки (xi;рi).
Пример ДСВ в профессиональной деятельности
В гостиничном комплексе «Апельсин», где есть 4 вида номеров по цене 5, 10, 25 и 60 тыс. руб. за неделю, руководитель решил провести исследование покупательской способности клиентов. Для этого было проведено анкетирование 100 человек, использовавших услуги данного агентства. Из всех опрошенных была выявлена следующая закономерность (обучающиеся записывают в тетрадь ряд и многоугольник распределения ДСВ):
| Xi | ||||
| Pi | 0,05 | 0,1 | 0,25 | 0,6 |
Преподаватель:
Во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью и зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т.д. Пользуясь такими характеристиками, мы хотим все существенные сведения относительно случайной величины выразить наиболее компактно.
Характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называют числовыми характеристиками случайной величины.
В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения. Из них в настоящем курсе мы введем только некоторые, наиболее часто применяемые.
Математическое ожидание – это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр.
Определение. (запись в тетрадь)
Математическим ожиданием (или средним значением) 
(или 
) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.
Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений 
, то ее математическое ожидание находится по формуле
Свойства математического ожидания. (запись в тетрадь)
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. 
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. 
Математическое ожидание не может в достаточной мере охарактеризовать случайную величину, поэтому необходимо использовать такую характеристику как дисперсия.
Определение.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. 
Теорема: Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.
Свойства дисперсии.. (запись в тетрадь)
1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. 
2. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 
3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. 
4. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 
Определение.
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) 
дискретной случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
= 
.
Вернемся к анализу деятельности гостиницы «Апельсин». После получения ряда и многоугольника распределения ДСВ руководитель вычислил математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, приняв во внимание, что негативные отзывы следует принять как отрицательные числа, а позитивные отзывы – как положительные: (студенты записывают в тетрадь):
После проведения исследования, руководство сделало вывод, что данный тип номеров рентабельный, так как все показатели положительные. По прогнозам руководителя, ежемесячно, довольны данным номером будет 41 турист из ста. Кроме того, возможно отклонение на 25 человек как в сторону негативных, так и в сторону позитивных отзывов.
Пример.
Опрашиваемых – 20 человек
15000 руб. – 3 чел
25000 руб. – 10 чел.
50000 руб. 6 чел.
60000 руб. – 1 чел.
| Xi | ||||
| Pi | 0,15 | 0,5 | 0,3 | 0,05 |
Вывод:
Люди готовы бронировать номера на неделю от 21 508 рублей до 49 992 рублей. Самыми популярными станут номера по цене 32 750 рублей.