Структура одностадийной волны и скорость горения в приближении узкой зоны реакции.

Распространение волны горения является одним из возможных режимов, в котором могут протекать экзотермические химические реакции. При распространении волны горения исходное вещество, имеющее сравнительно низкую начальную температуру, отделено узкой зоной горения от продуктов реакции, имеющих значительно более высокую температуру. Зона горения, разделяющая исходное вещество и продукты, перемещается в сторону исходного вещества с некоторой линейной скоростью u_н , называемой нормальной скоростью горения.

В волне горения протекают химические реакции, приводящие к выделению тепла и нагреву среды, происходит перенос тепла и компонентов смеси благодаря процессам теплопроводности, излучения, диффузии, фильтрации и т. п.

Главной задачей теории распространения волн горения является изучение стационарной волны горения и выяснение условий, при которых стационарный волновой режим реакции может быть реализован. Важность этих вопросов обусловлена наибольшей распространенностью стационарного режима и его значением в практических применениях.

В стационарном режиме волна горения распространяется практически с постоянной скоростью, причем постоянной является не только скорость волны, остаются неизменными также профили температуры и концентраций компонентов (в системе координат, связанной с волной горения). Понятие о стационарной волне горения по существу является приближенным, но изменения скорости и структуры волны горения за время ее распространения в большинстве случаев столь незначительны, что понятие стационарного режима приобретает вполне реальный смысл.

Типичные профили температуры Т и скорости тепловыделения при однозонном протекании реакции показаны на рис.1, где через х^/ обозначена пространственная координата, стрелкой указано направление, в котором распространяется волна; буквами QФ обозначена скорость тепловыделения.

Т _в

Uн

QФ

Т_о

Рис 1. Х’

Физическая картина процесса стационарного распространения волны горения состоит в следующем.

Поскольку скорость реакции сильно увеличивается с температурой, то там, где температура высока (адиабатическая температура горения Т_b обычно лежит в пределах 1000-3000 К), химическое превращение протекает с очень большой скоростью, к примеру, за миллисекунды. В зоне интенсивного химического превращения, расположенной в области высоких температур (см. рис. 1), выделяется тепло, которое благодаря процессу теплопроводности передаётся в рядом лежащие слои холодного вещества, нагревая их и ускоряя тем самым там реакцию. В результате в среде происходит распространение волны экзотермической реакции. Кроме теплопроводности, в волне горения происходит ещё диффузия компонентов на расстояниях порядка толщины зоны горения в случае горения газов и разные другие процессы при горении гетерогенных систем.

Волну горения удобно рассматривать в системе координат, перемещающейся вместе с ней. Пусть волна горения распространяется в направлении, обратном направлению координаты x^/ (x^/ - расстояние в неподвижной системе координат), со скоростью u_n. Уравнение теплопроводности в неподвижной системе координат запишем в следующем виде:

, (1.11)

где t – время; c_p – удельная теплоёмкость среды при постоянном давлении; - плотность; - коэффициент теплопроводности; Q_kФ_k - скорость тепловыделения в k–й реакции (суммирование ведётся по всем возможным реакциям). Нижний индекс у частной производной по времени указывает, что эта производная берётся при x^/ =const.

Перейдём к системе координат, связанной с волной горения:

, (1.12)

где x – расстояние в движущейся со скоростью u_n системе координат.

Заменяя в (1.1.1) x^/ на x, получим

. (1.13)

Поскольку в стационарной волне горения профиль температуры остаётся неизменным, производная при x = const равна нулю. Поэтому имеем:

. (1.14)

Граничные условия для (1.1.4) (полагаем, что теплопотери отсутствуют и в волне горения достигается термодинамическое равновесие):

.

Для простоты будем считать, что в каждой точке стационарной волны горения имеется некоторая однозначная связь между концентрациями компонентов и температурой. Тогда скорость тепловыделения в уравнении (1.1.4) можно считать функцией только температуры и поэтому (1.1.4) можно рассматривать независимо от остальных уравнений. С учётом этого представим уравнение (1.1.4) в следующей простейшей форме:

(1.15)

Здесь скорость реакции Ф, являющаяся согласно сделанному предположению функцией только температуры, должна обращаться в нуль при Т=Т_b, поскольку температура горения Т_b соответствует завершению реакции; Q – тепловой эффект реакции.

Будем считать, что выделение тепла в волне горения происходит одностадийно, например, вследствие протекания только одной химической реакции. Подчеркнем, что это не означает отсутствие других реакций. Предположение состоит лишь в том, что вкладом в скорость тепловыделения от остальных реакций по тем или иным причинам можно пренебречь. Снова будем рассматривать уравнение теплопроводности (1.15):

(1.16)

Источник тепловыделения QФ в (1.16) зависит от концентраций реагирующих веществ a_i. Связь между a_i и Т в каждой точке волны горения в общем случае неизвестна и не может быть определена без решения полной системы уравнений, включающей уравнения для концентраций. Однако для нас пока достаточно считать, что такая связь в принципе имеется (полагаем, что решение задачи о стационарной волне горения существует), и рассматривать только одно уравнение (1.16).

Ввиду сильной зависимости скорости реакции от температуры в волне горения можно пренебречь всюду за исключением узкой зоны вблизи температуры горения Т_b (такая ситуация изображена на рис. 1). Эту зону, где скорость реакции велика, называют зоной реакции (или зоной тепловыделения). Остальная часть волны горения, расположенная в области более низких температур, называется зоной прогрева (или прогретым слоем). В зоне прогрева тепловыделением от химической реакции можно пренебречь. Прогрев смеси в этой зоне от Т=Т₀ до температур, несколько более низких, чем Т_b, происходит за счет тепла, поступающего из зоны реакции. Размер зоны прогрева намного превышает размер зоны реакции.

Введём в (1.16) новые переменные. В качестве независимой переменной вместо координаты будем рассматривать температуру Т, а в качестве зависимой переменной тепловой потока:

(1.17)

Тогда уравнение (1.16) принимает вид

(1.18)

Введём температуру Т_r, соответствующую границе между зонами прогрева и реакции. Температура Т_r имеет в определённой мере условный смысл, поскольку ввиду непрерывной зависимости скорости реакции от температуры точной границы между зонами реакции и прогрева, конечно не имеется.

В зоне прогрева, т. е. в области температур Т₀ Т<Т_r, будем пренебрегать в уравнении (1.18) скоростью реакции. Следовательно, для зоны прогрева имеем:

≈ (1.19)

Интегрируя (1.19), получим

≈ (1.20)

Таким образом, в координатах q-T (тепловой поток – температура) зоне прогрева соответствует прямолинейный участок кривой q(T) с углом наклона, пропорциональным скорости горения m. Решение (1.20) показано на рис. 2 прямой линией 2.

Рис 2.Вид зависимости теплового потока q от температуры Т в однозонной волне горения в случае узкой зоны реакции:

Для нахождения зависимости Т от координаты x в зоне прогрева проинтегрируем (1.20) по x с учётом определения q по (1.17) (для простоты теплофизические характеристики смеси будем при этом считать постоянными). Интегрирование даёт:

(1.21)

где через const обозначена постоянная интегрирования. Величина входящая в показатель

(1.22)

экспоненты, имеет размерность длины и называется толщиной прогретого слоя ( -температуропроводность; u_n –нормальная скорость горения). Как видно из (1.21), на расстоянии, равном , перепад температуры в прогретом слое изменяется в «е » раз.

Поскольку основная часть одностадийной волны горения с узкой реакции приходится на прогретый слой, то величина одновременно характеризует размер всей волны горения. Таким образом, характерный размер волны горения l_b равен .

Интегральная кривая уравнения (1.18) в случае узкой зоны реакции качественно изображена на рис 2 (кривая 1). Линейный рост в зоне прогрева сменяется резким падением в узкой зоне реакции(q=0 при T=T_b).

Можно показать, что в зоне реакции мало второе слагаемое в (1.18) (в среднем по зоне реакции порядок величины отношения второго слагаемого к первому составляет (Т-Т_b)/(T_b-T₀). Пренебрегая вторым слагаемым в (1.18) и интегрируя, получим для зоны реакции:

(1.23)

Зависимость q(T) по (1.23) показана на рис 2 кривой 3.Поскольку за пределами зоны реакции Ф(Т, а_i) очень мала, то величина интеграла (1.23) практически перестаёт зависеть от нижнего предела, и кривая 3 насыщается в области низких температур. Поэтому для того, чтобы оценить по (1.23) значение q на границе между зонами прогрева и реакции можно в качестве нижнего предела интегрирования выбрать любое значение Т<Т_r, в частности Т=Т₀. Сращивая (1.20) и (1.23) (ввиду узости зоны реакции для вычисления значения q на границе зон прогрева и реакции в (1.20) можно приближённо принять Т≈Т_b), получим основную формулу для скорости горения в приближении узкой зоны реакции:

(1.24)

Подчеркнём, что величина интеграла (1.24) не зависит (в рассматриваемом приближении) от нижнего предела интегрирования, поскольку Ф(Т,a_i) заметно отличается от нуля только в области высоких температур вблизи температуры горения Т_b [5].