Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
, и
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность α – β заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус , где
и
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму через арксинус
По определению арксинуса
и
,
откуда
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при и
, имеем:
, и
,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а) б)
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и
в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
|
Вычислив , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или
Откуда
и, следовательно,
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
или
Случай 2.
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим
Случай 3.
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса)
, следовательно в случае 1
;
в случае 2 и в случае 3
.
Итак, имеем окончательно:
,
или
; x > 0, y > 0, и
(1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x на –x получим:
,
или
; x > 0, y > 0, и
(2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1: если
, то
Приняв во внимание, что обе дуги и
расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, , откуда
Случай 2: . Если
, то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если
, а случай 2, если
.
Из равенства следует, что дуги
и
имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2
, следовательно,
,
,
(3)
4. Аналогично
,
,
(4)
пример:
5.
; xy < 1
; x > 1, xy > 1 (5)
; x < 0, xy > 1
При xy =1не имеет смысла
6.
; xy > -1
|
; x > 0, xy < -1 (6)
; x < 0, xy < -1
7.
;
;
(7)
;
8.
;
(8)
;
9.
;
; x > 1 (9)
; x < -1
10. (10)
(11)
, если
(12)
, если