Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
, и 
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности 
, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность α – β заключена в правой полуокружности: 
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус 
, где 
и 
Имеем:
Откуда
2. Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.
1. Выразить сумму 
через арксинус
По определению арксинуса
и 
,
откуда
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1: 
Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при 
и 
, имеем:
, и 
,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а) 
б) 
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и 
в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия 
и 
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив 
, получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. 
или
Откуда
и, следовательно, 
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
или 
Случай 2. 
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия 
получим 
Случай 3. 
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и 
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда 
Дуги γ и 
имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) 
, следовательно в случае 1 
;
в случае 2 
и в случае 3 
.
Итак, имеем окончательно:
, 
или
; x > 0, y > 0, и (1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
; 
2. Заменив в (1) x на –x получим:
, или
; x > 0, y > 0, и (2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму 
через арккосинус
и 
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1: 
если 
, то
Приняв во внимание, что обе дуги 
и 
расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, 
, откуда 
Случай 2: 
. Если 
, то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим 
. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если 
, а случай 2, если
.
Из равенства 
следует, что дуги
и 
имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2 
, следовательно,
, 
, 
(3)
4. Аналогично
,
, (4)
пример: 
5.
; xy < 1
; x > 1, xy > 1 (5)
; x < 0, xy > 1
При xy =1не имеет смысла
6.
; xy > -1
; x > 0, xy < -1 (6)
; x < 0, xy < -1
7.
; 
; 
(7)
; 
8.
; (8)
; 
9.
; 
; x > 1 (9)
; x < -1
10. 
(10)
(11)
, если (12)
, если 