Деформации при чистом изгибе
При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.
Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней паройсил с моментом т (рис. 32.1а).
![]() | При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев. Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси. Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие. Действуют только нормальные напряжения. Поперечные размеры сечений не меняются. Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса р (рис. 32.16). Материал подчиняется закону Гука. |
Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.16). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется
слой, в котором нормальные напряжения о равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; р — радиус кривизны нейтрального слоя.
Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (участок АВ, рис. 32.1).
Длина участка до деформации равна длине нейтральной оси:
.
Абсолютное удлинение слоя (рис. 32.1б).
![]() | Относительное удлинение ![]() ![]() |
от положения слоя:
.
Формула для расчета нормальных напряжений
При изгибе
Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).
dN — элементарная продольная сила в точке сечения; dA — площадь элементарной площадки; dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя. dN = σиdA; dm = σи ydA. | ![]() |
Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении
.
- осевой момент инерции сечения.
Таким образом, .
Откуда Е / р = Mn/ Jx. Ранее получено .
После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:
,
где Jx — геометрическая характеристика сечения при изгибе.
Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изображена на рис. 32.3.
![]() | По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.
Подставим в формулу напряжения значение у = уmax.
Получим ![]() |
Отношение принято обозначать Wx:
Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.
Размерность — мм3.
Wx характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.
Напряжение на поверхности .
Рациональные сечения при изгибе
Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений.
Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4) равен ![]() ![]() | ![]() |
Рис.
Вариант на рис. 32.56 обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях.
Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен .
Осевой момент сопротивления круга .
![]() | Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инерции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1). Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг которой совершается изгиб (рис. 32.7). |