Основные правила построения эпюр в случае приложения распределенной нагрузки. Контроль правильности решений

Тема 2.6. Изгиб.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих

Моментов. Приложены сосредоточенные и распределенные

Нагрузки

Знать дифференциальные зависимости между интенсивно­стью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, основные правила построения эпюр.

Уметь строить эпюры поперечной силы и изгибающего момен­та в случае приложения сосредоточенных и распределенных нагру­зок.

Примеры решения задач

Пример 1. Одноопорная балка нагружена сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой (рис. 31.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение

Задачу решаем с помощью составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.

При проверке эпюр используем дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом:

1. Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки

2. Производная изгибающего момента по длине балки равна по­
перечной силе

256 Лекция 31

 

Рассмотрим участок 1, сечение 1.

Поперечная сила Q 1 = —F 1 =—15 кН.

По принятому правилу знаков поперечная сила отрицательна и постоянна на этом участке.

Изгибающий момент М_{Х 1} = — F 1 z 1.

0≤ z 1≤ 4м: М_А = 0; М_B = -15 • 4 = -60кН • м.

Рассмотрим участок 2, сечение 2.

Поперечная сила Q 2 = —F 1 — q (z 2 - 4).

4 м ≤ z₂ ≤ 8 м: Q_B = -F 1 = -15 кН; Qс^слевa = -39 кН.

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент

4 м ≤ z₂ ≤ 8 м:

Тема 2.6. Изгиб257

при Z 2 = 4 м изгибающий момент Мв = —60 кН • м. В точке В нет внешнего момента, поэтому изгибающий момент слева и справа от точки В одинаков. В этом случае рассчитывать его дважды не следует;

Рассмотрим участок 3, сечение 3.

В точке С приложена внешняя сила F 2.На эпюре должен быть скачок, равный приложенной силе; на эпюре моментов должен быть излом.

Поперечная сила на участке 3: Q 3 = - F 1 -q (z 3 - 4)- F 2;

при z ₃ = 8м Qс^справа = -15 - 6 • 4 - 10 = -49кН;

точка С: Qс^слева = 39 кН; Qс^справа = 49 кН;

при z ₃ = 10м Q_D = -15-6∙6- 10 = -61кН.

Поперечная сила изменяется по линейному закону.

Изгибающий момент

8м ≤ z₃ ≤ 10м:

На участках 2 и 3 эпюра изгибающих моментов ограничена ква­дратичной параболой.

По полученным результатам, учитывая дифференциальные за­висимости между поперечной силой и изгибающим моментом, стро­им эпюры Q и М_х. На втором и третьем участках поперечная сила не имеет нулевых значений, поэтому на эпюре моментов нет экс­тремумов.

Основные правила построения эпюр в случае приложения распределенной нагрузки. Контроль правильности решений

1. Для участка балки с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила Q изменяется по линейному закону, эпюра ограни­чена наклонной прямой. Изгибающий момент изменяется по квадра­тичному закону, эпюра М_х ограничена параболой второго порядка.

2. В сечении, где эпюра Q переходит через ноль (наклонная ли­ния пересекает ось абсцисс), изгибающий момент экстремален: ка­сательная к эпюре М_х в этом месте параллельна оси абсцисс.

9- 8060 Олофинская

258Лекция 31

3. Параболическая и прямолинейная части эпюры моментов там,
где кончается или начинается распределенная нагрузка, сопрягаются плавно, без излома, если в соответствующем сечении к балке не
приложена сосредоточенная сила.

4. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то эпюра мо­мента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.

5. Из теоремы Журавского следует:

— если на участке Q> 0, М_И растет;

— если на участке Q< 0, М _Иубывает;

— если на участке Q = 0, изгибающий момент постоянен (чи­стый изгиб);

— если в точке Q = 0, изгибающий момент достигает экстремального значения (М и^min или М и^max).

Пример 2. Расчет двухопорной балки. Двухопорная балка на­гружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 31.2).

Решение

При определении реакций в опоре равномерно распределенную нагрузку можнозаранее заменить равнодействующей сосредоточен­ной силой: G = ql;q = 4кН/м; G = 4 • 6 = 24кН (рис. 31.2).

При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов распределенная нагрузка учитывается постепенно.

Расчет балки можно провести по характерным точкам, при этом необходимо знать правила построения эпюр, перечисленные выше.

Определяем реакции в опорах балки.

Тема 2.6. Изгиб259

 

Построение эпюр

Анализируем схему балки.

Рассмотрим участок 1 до сечения 1.

В опоре А действует сосредоточенная сила Ra = 7,2 кН. На участке 1 поперечная сила остается постоянной: Q1 = Ra= 7,2 кН (рис. 31.3).

 

Изгибающий момент в точке А равен нулю, т. к. здесь нет мо­мента внешней пары сил: Ма = 0.

Момент в точке С (граница участка, z — 4м) Мс = Ra • 4; М_с = 7,2 -4 = 28,8кН • м.

Эпюра очерчивается прямой линией, наклонной к оси Oz (рис. 31.3).

260Лекция 31

Рассмотрим участок 2 (рис. 31.3). Здесь действует распределен­ная нагрузка интенсивностью q = 4кН/м. При перемещении вдоль оси балки направо распределенная нагрузка суммируется. Эпюра Q 2— прямая линия, наклонная к оси Oz. Распределенная нагруз­ка направлена вниз (см. Основные правила построения эпюр, п. 4), здесь эпюра изгибающего момента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.

Реакция в опоре Ra и распределенная нагрузка направлены в разные стороны. Следовательно, возможна точка, в которой, по пра­вилу 2, Q 2 = 0, а изгибающий момент экстремален.

Для построения эпюры моментов необходимо составить уравне­ние поперечной силы на участке 2 и приравнять величину попереч­ной силы нулю. Из уравнения можно определить координату точки, в которой изгибающий момент экстремален.

Проводим необходимые расчеты, определяем величины попереч­ных сил и изгибающих моментов в характерных точках.

Рассмотрим участок 2, сечение 2 (рис. 31.3).

Уравнение поперечной силы Q 2 = Ra— q(z 2— 4) = 0.

Откуда: — координата

точки, где изгибающий момент экстремален, т. к. Q 2 = 0.

Уравнение момента на участке 2:

Максимальноезначение изгибающего момента на участке 2

Значения поперечной силы и изгибающего момента в точке В:Q_B = R_B = 16,8 кН; М_В = 0.

Строим эпюру поперечной силы. Первый участок — прямая ли­ния, параллельная оси Oz. В точке С эпюра становится наклонной. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 31.3).

Участок 1 эпюра — прямая линия; Ма = 0; Мс — 28,8 кН • м.

Участок 2 эпюра — параболас экстремумом в точке z = 5,8 м;

Тема 2.6. Изгиб261

Контрольные вопросы и задания

1. Если эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой, как выглядит эпюра изгибающего момента?

2. Как определить положение экстремального значения изгиба­ющего момента при действии распределенной нагрузки на участке балки?

3. Распределенная нагрузка направлена вверх. Как выглядит парабола, очерчивающая эпюру изгибающих моментов вдоль оси бруса?

4. Определите координату z, в которой поперечная сила равна нулю (рис. 31.4).

 

 

5. Определите величину изгибающего момента в точке С (z = 5 м), используя схему рис. 31.4.