Самосопряженный оператор

Глава IX. Линейные операторы в унитарном и евклидовом пространстве

Везде в этой главе рассматриваются только евклидовы или унитарные
пространства.

Сначала сформулируем и докажем одно утверждение, которым будем пользоваться на протяжении всей этой главы.

Лемма 1. Пусть X – унитарное или евклидово пространство, и для любых векторов X справедливо равенство , или, что то же самое,
(,A ) = (,D ). Тогда A =D.

Доказательство. Действительно, положив = (A –D) , получим: (, ) = 0. Из свойств скалярного произведения следует, что тогда = (A –D) =A –D = , или A =D для любого
ÎX, что и доказывает равенство A =D.

Сопряженный оператор.

 

Определение 1. Пусть X – унитарное или евклидово пространство, . Оператор называют сопряженным к оператору A, если для любых векторов
X справедливо равенство . (1)

Замечание 1. Отметим, что равенство (1) эквивалентно следующему:

. (2)

Действительно, из свойств скалярного произведения и равенства (1) следует, что , " X. Таким образом, из равенства (1) следует (2). Аналогично доказывается, что из равенства (2) следует (1).

 

Замечание 2. Нетрудно доказать, что оператор , удовлетворяющий равенству (1) для любых векторов X, является линейным. Поэтому в определении 1 от требования линейности оператора можно отказаться.

Замечание 3. Из определения 1, конечно, не следует существование оператора, сопряженного к данному.

Пример 1. Очевидно, , т. к. для любых X имеем: (E , ) = (, ) = (,E ).

Пример 2. Пусть – пространство геометрических векторов плоскости, которое, как известно из линейной алгебры, является евклидовым пространством размерности 2.

Легко доказать, что отображение , сопоставляющее каждому вектору вектор, получающийся из в результате поворота на угол j и растяжения в l раз (l Î R, l > 0), является линейным оператором.

Покажем, что оператор , сопоставляющий каждому вектору вектор, получающийся из в результате поворота на угол –j и растяжения в l раз, является сопряженным к A.

Рис. 1

Нетрудно доказать, что – линейный оператор. Легко видеть (рис.1), что для любых двух ненулевых векторов справедливы равенства

,

где . Следовательно, для любых двух ненулевых векторов имеем:

.

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .

Таким образом, , и, следовательно, оператор является сопряженным к оператору A.

Отметим, что если – ортонормированный базис пространства X, то матрица оператора A в базисе имеет следующий вид:

Теорема 1. Для любого линейного оператора A, действующего в унитарном или евклидовом пространстве X, существует единственный сопряженный к нему оператор .

Доказательство. 1. Докажем сначала существование оператора, сопряженного к A.

Пусть – ортонормированный базис пространства X и . По теореме 1 §3 главы YIII

существует линейный оператор, который мы обозначим через , такой, что , т.е. если , то в i-й строке и j-м столбце матрицы стоит элемент , где черта означает комплексное сопряжение.

Покажем, что определенный таким образом линейный оператор является сопряженным к A, т.е. для всех векторов X справедливо равенство (1):

;

.

Таким образом для всех векторов X. Следовательно, оператор является сопряженным к .

2. Теперь докажем, что такой оператор единственный. Пусть оператор также удовлетворяет равенству (1), т.е. для всех векторов X. Тогда всех векторов X. Следовательно, по лемме 1 , и теорема доказана.

Оператор, сопряжённый к оператору будем обозначать так: .

Следствие 1. Матрицы операторов A и в любом ортонормированном базисе пространства X связаны соотношением , т.е. матрица сопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе является сопряжённой к матрице исходного оператора в том же базисе. В частности, если X – евклидово пространство, то .

Следствие 2. Для любого оператора справедливы равенства: ; .

Доказательство. Пусть – ортонормированный базис пространства X. По следствию к лемме 2 §4 главы YIII имеем: ; . Из определения ранга матрицы, свойств операции комплексного сопряжения и следствия 1 получаем:

.

Равенство для дефектов получается из уже доказанного, т.к. по теореме §4 главы YIII

.

Следствие 3. Если C является собственным числом матрицы , то комплексно сопряжённое к нему число является собственным числом сопряжённой матрицы , т.е. если

, то .

Доказательство. Для любого по теореме 1 §5 главы Y справедливо равенство . Подсчитаем

,

т.е. . Это и означает, что для любого .

Следствие 4. Если C является собственным числом оператора , то комплексно сопряжённое с ним число является собственным числом сопряжённого оператора , т.е. если , то .

Доказательство. Если , то , где - ортонормированный базис X. Откуда с учётом следствий 1 и 3 получаем: .

Теорема 2. Пусть X – унитарное или евклидово пространство. Для любых операторов и любого числа Î C справедливы следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если A обратим, то обратим и оператор , причём .

Доказательство. Из свойств скалярного произведения и определения сопряженного оператора получаем, что для любых векторов X справедливы равенства:

1. ;

2.

;

3. ;

4. .

Таким образом, из леммы 1 следует справедливость равенств 1 – 4.

5. Пусть теперь оператор A обратим, т.е. существует такой оператор , что . Тогда получаем: . По доказанному в пункте 4 последнее равенство можно переписать так: , что и означает обратимость сопряженного оператора и справедливость равенства 5.

Теорема 3. Матрицы операторов A и в произвольном базисе пространства X связаны соотношением

.

В частности, если X– евклидово пространство, то .

Дадим лишь несколько указаний для доказательства этой теоремы. Пусть - ортонормированный базис пространства X. Тогда справедливы равенства:

. Для завершения доказательства

остаётся лишь показать, что и что .

 

Теорема 4. Пусть X – унитарное или евклидово пространство. Для любого оператора справедливы равенства , .

Доказательство. Для любых векторов Î A и ÎX имеем: , или . Таким образом, для любых Î A. По определению ортогонального дополнения это и означает, что для любого ÎX, или .

Покажем теперь, что .

Действительно,

Здесь мы воспользовались следствием 2 к теореме 1 и следствием 1 к теореме 1 §3 главы YIII. Таким образом, . (3)

Как следует из свойств ортогонального дополнения, тогда .

Напишем равенство (3) для сопряженного оператора : . По теореме 2 это и означает, что .

Следствие. Для любого оператора справедливы равенства

; .

Доказательство. Оба разложения получаются из равенства , которое справедливо для любого подпространства P (см. теорема 1 §3 главы YIII). В первом равенстве P = KerA, а во втором – .

Самосопряженный оператор

Определение 1. Пусть X – евклидово или унитарное пространство. Оператор называют

самосопряженным, если .

Если X – унитарное (евклидово) пространство, то самосопряженный оператор называют эрмитовым (симметричным).

Пример 1. Тождественный оператор E является самосопряженным, т.к. .