Глава IX. Линейные операторы в унитарном и евклидовом пространстве
Везде в этой главе рассматриваются только евклидовы или унитарные
пространства.
Сначала сформулируем и докажем одно утверждение, которым будем пользоваться на протяжении всей этой главы.
Лемма 1. Пусть X – унитарное или евклидово пространство, 
и для любых векторов 
X справедливо равенство 
, или, что то же самое,
(
,A 
) = (,D ). Тогда A =D.
Доказательство. Действительно, положив = (A –D) , получим: (, ) = 0. Из свойств скалярного произведения следует, что тогда = (A –D) =A –D = 
, или A =D для любого
ÎX, что и доказывает равенство A =D.
Сопряженный оператор.
Определение 1. Пусть X – унитарное или евклидово пространство, 
. Оператор 
называют сопряженным к оператору A, если для любых векторов
X справедливо равенство 
. (1)
Замечание 1. Отметим, что равенство (1) эквивалентно следующему:
. (2)
Действительно, из свойств скалярного произведения и равенства (1) следует, что 
, " X. Таким образом, из равенства (1) следует (2). Аналогично доказывается, что из равенства (2) следует (1).
Замечание 2. Нетрудно доказать, что оператор 
, удовлетворяющий равенству (1) для любых векторов X, является линейным. Поэтому в определении 1 от требования линейности оператора 
можно отказаться.
Замечание 3. Из определения 1, конечно, не следует существование оператора, сопряженного к данному.
Пример 1. Очевидно, 
, т. к. для любых X имеем: (E , ) = (, ) = (,E ).
Пример 2. Пусть 
– пространство геометрических векторов плоскости, которое, как известно из линейной алгебры, является евклидовым пространством размерности 2.
Легко доказать, что отображение 
, сопоставляющее каждому вектору 
вектор, получающийся из в результате поворота на угол j и растяжения в l раз (l Î R, l > 0), является линейным оператором.
Покажем, что оператор , сопоставляющий каждому вектору 
вектор, получающийся из в результате поворота на угол –j и растяжения в l раз, является сопряженным к A.
Рис. 1
|
Нетрудно доказать, что – линейный оператор. Легко видеть (рис.1), что для любых двух ненулевых векторов 
справедливы равенства
,
где 
. Следовательно, для любых двух ненулевых векторов имеем:
.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то 
.
Таким образом, , 
и, следовательно, оператор является сопряженным к оператору A.
Отметим, что если 
– ортонормированный базис пространства X, то матрица оператора A в базисе 
имеет следующий вид:
Теорема 1. Для любого линейного оператора A, действующего в унитарном или евклидовом пространстве X, существует единственный сопряженный к нему оператор .
Доказательство. 1. Докажем сначала существование оператора, сопряженного к A.
Пусть 
– ортонормированный базис пространства X и 
. По теореме 1 §3 главы YIII
существует линейный оператор, который мы обозначим через 
, такой, что 
, т.е. если 
, то в i-й строке и j-м столбце матрицы 
стоит элемент 
, где черта означает комплексное сопряжение.
Покажем, что определенный таким образом линейный оператор является сопряженным к A, т.е. для всех векторов X справедливо равенство (1):
;
.
Таким образом 
для всех векторов X. Следовательно, оператор является сопряженным к 
.
2. Теперь докажем, что такой оператор единственный. Пусть оператор 
также удовлетворяет равенству (1), т.е. 
для всех векторов X. Тогда 
всех векторов X. Следовательно, по лемме 1 
, и теорема доказана.
Оператор, сопряжённый к оператору будем обозначать так: 
.
Следствие 1. Матрицы операторов A и в любом ортонормированном базисе пространства X связаны соотношением 
, т.е. матрица сопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе является сопряжённой к матрице исходного оператора в том же базисе. В частности, если X – евклидово пространство, то 
.
Следствие 2. Для любого оператора справедливы равенства: 
; 
.
Доказательство. Пусть – ортонормированный базис пространства X. По следствию к лемме 2 §4 главы YIII имеем: 
; 
. Из определения ранга матрицы, свойств операции комплексного сопряжения и следствия 1 получаем:
.
Равенство для дефектов получается из уже доказанного, т.к. по теореме §4 главы YIII
.
Следствие 3. Если 
C является собственным числом матрицы 
, то комплексно сопряжённое к нему число 
является собственным числом сопряжённой матрицы 
, т.е. если
, то 
.
Доказательство. Для любого по теореме 1 §5 главы Y справедливо равенство 
. Подсчитаем
,
т.е. 
. Это и означает, что для любого .
Следствие 4. Если C является собственным числом оператора , то комплексно сопряжённое с ним число является собственным числом сопряжённого оператора 
, т.е. если 
, то 
.
Доказательство. Если , то 
, где - ортонормированный базис X. Откуда с учётом следствий 1 и 3 получаем: 
.
Теорема 2. Пусть X – унитарное или евклидово пространство. Для любых операторов и любого числа 
Î C справедливы следующие равенства:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. Если A обратим, то обратим и оператор , причём 
.
Доказательство. Из свойств скалярного произведения и определения сопряженного оператора получаем, что для любых векторов X справедливы равенства:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Таким образом, из леммы 1 следует справедливость равенств 1 – 4.
5. Пусть теперь оператор A обратим, т.е. существует такой оператор 
, что 
. Тогда получаем: 
. По доказанному в пункте 4 последнее равенство можно переписать так: 
, что и означает обратимость сопряженного оператора и справедливость равенства 5.
Теорема 3. Матрицы операторов A и в произвольном базисе 
пространства X связаны соотношением
.
В частности, если X– евклидово пространство, то 
.
Дадим лишь несколько указаний для доказательства этой теоремы. Пусть - ортонормированный базис пространства X. Тогда справедливы равенства: 
. Для завершения доказательства
остаётся лишь показать, что 
и что 
.
Теорема 4. Пусть X – унитарное или евклидово пространство. Для любого оператора справедливы равенства 
, 
.
Доказательство. Для любых векторов Î 
A и ÎX имеем: 
, или 
. Таким образом, 
для любых Î A. По определению ортогонального дополнения это и означает, что 
для любого ÎX, или 
.
Покажем теперь, что 
.
Действительно, 
Здесь мы воспользовались следствием 2 к теореме 1 и следствием 1 к теореме 1 §3 главы YIII. Таким образом, 
. (3)
Как следует из свойств ортогонального дополнения, тогда 
.
Напишем равенство (3) для сопряженного оператора 
: 
. По теореме 2 это и означает, что .
Следствие. Для любого оператора справедливы равенства
; 
.
Доказательство. Оба разложения получаются из равенства 
, которое справедливо для любого подпространства P (см. теорема 1 §3 главы YIII). В первом равенстве P = KerA, а во втором – 
.
Самосопряженный оператор
Определение 1. Пусть X – евклидово или унитарное пространство. Оператор называют
самосопряженным, если 
.
Если X – унитарное (евклидово) пространство, то самосопряженный оператор называют эрмитовым (симметричным).
Пример 1. Тождественный оператор E является самосопряженным, т.к. 
.